Доказательство. Предположим, что. Рассмотрим множество

Предположим, что . Рассмотрим множество . , т.к. . Тогда, по теореме 3, имеет наименьший элемент , причем , . По следствию 4) из аксиом Пеано, , причем . , т.к. в противном случае, не будет наименьшим в . Тогда, согласно индуктивному предположению, , но это противоречит условию . Таким образом, предположение неверно, и .

что и требовалось доказать.

Теорема 10 ( ІІІ форма ): Если утверждение о натуральных числах верно для всех чисел некоторого непустого неограниченного сверху подмножества множества натуральных чисел и из верности утверждения для произвольного натурального числа следует верность утверждения для натурального числа , то утверждение верно для каждого натурального числа.