Операции над последовательностями рациональных чисел

Определение. Суммой последовательностей и называется последовательность, полученная в результате сложения соответствующих членов этих последовательностей, т.е. .

Определение. Произведением последовательностей и называется последовательность, полученная в результате умножения соответствующих членов этих последовательностей, т.е. .

Замечание. Разностью последовательностей и является сумма последовательностей и .

Теорема 2. Сумма, произведение и разность сходящихся последовательностей рациональных чисел является сходящейся последовательностью.

Доказательство.

Поскольку предел суммы, произведения, разности сходящихся последовательностей равен соответственно сумме, произведению, разности пределов этих последовательностей, теорему можно считать доказанной.

что и требовалось доказать.

Свойство 4 ф.п.р.ч. Сумма, произведение и разность фундаментальных последовательностей рациональных чисел является фундаментальной последовательностью.

Доказательство.

Докажем теорему сначала для фундаментальных последовательностей.

Пусть и - фундаментальные последовательности рациональных чисел. Тогда . Полагая , получим , . Оценим :

Последнее неравенство справедливо в силу свойства 3 ф.п.р.ч. оо ограниченности любой ф.п.р.ч.. Следовательно, последовательность является фундаментальной.

Аналогично устанавливается фундаментальность последовательности.

Последовательность фундаментальна, поскольку и всякая постоянная последовательность рациональных чисел фундаментальна..

что и требовалось доказать

Определение. Частным двух последовательностей и при условии, что среди членов последовательности отсутствуют числа, равные нулю, называется последовательность .

Свойство 5 ф.п.р.ч. Частным фундаментальных последовательностей и рациональных чисел при условии, что среди членов последовательности отсутствуют числа, равные нулю, и не сходится к нулю, является фундаментальной последовательностью рациональных чисел.

Доказательство.

Поскольку не сходится к нулю, то найдется положительное рациональное число и натуральное такие, что . Поскольку последовательности и фундаментальны, имеем: