2014-02-02
696
Фундаментальные последовательности рациональных чисел
Лекция 7.
Определение. Последовательностью рациональных чисел называется всякое отображение 
.
–
ый член этой последовательности.
Определение. Последовательность рациональных чисел 
называется сходящейся в поле Q к числу 
в том и только том случае, когда 
Число 
называется пределом данной последовательности. Обозначать этот факт будем 
при 
или 
.
Определение. Последовательность называется фундаментальной последовательностью рациональных чисел (ф.п.р.ч.) в том и только том случае, когда 
.
Свойство 1 ф.п.р.ч. Любая сходящаяся в поле рациональных чисел последовательность является фундаментальной последовательностью рациональных чисел.свойства
Доказательство.
Пусть сходится к b. Тогда
.
Оценим 
:
.
В силу произвольности 
также произвольно, следовательно, фундаментальность доказана.
что и требовалось доказать.
Определение. Подпоследовательностью последовательности называется последовательность 
такая, что 
, причем отображение 
является монотонно возрастающей функцией для каждого натурального 
.
Теорема 1. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности рациональных чисел является сходящейся к тому же числу последовательностью рациональных чисел.
