И их свойства

Фундаментальные последовательности рациональных чисел

Лекция 7.

Определение. Последовательностью рациональных чисел называется всякое отображение .

–ый член этой последовательности.

Определение. Последовательность рациональных чисел называется сходящейся в поле Q к числу в том и только том случае, когда Число называется пределом данной последовательности. Обозначать этот факт будем при или .

Определение. Последовательность называется фундаментальной последовательностью рациональных чисел (ф.п.р.ч.) в том и только том случае, когда .

Свойство 1 ф.п.р.ч. Любая сходящаяся в поле рациональных чисел последовательность является фундаментальной последовательностью рациональных чисел.свойства

Доказательство.

Пусть сходится к b. Тогда

.

Оценим :

.

В силу произвольности также произвольно, следовательно, фундаментальность доказана.

что и требовалось доказать.

Определение. Подпоследовательностью последовательности называется последовательность такая, что , причем отображение является монотонно возрастающей функцией для каждого натурального .

Теорема 1. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности рациональных чисел является сходящейся к тому же числу последовательностью рациональных чисел.