2014-02-02
592
Пусть 
и 
- положительные последовательности рациональных чисел, что влечет
.
Пусть 
. Тогда 
. Последовательно складывая и умножая последние неравенства, получим 
. Поскольку 
, а 
- произвольное, большее 
число, последовательности 
и 
положительны.
что и требовалось доказать
Теорема 4. Если фундаментальные последовательности и 
не являются положительными, тогда фундаментальная последовательность будет нулевой.
Доказательство.
По условию и не являются положительными, следовательно, 
. Учитывая фундаментальность последовательностей и , можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялись неравенства:
Тогда
Выбрав 
, получим 
для сколь угодно малого 
, а это возможно лишь в одном случае, если является нулевой последовательностью рациональных чисел.
что и требовалось доказать
Следствие. Если - ф.п.р.ч., тогда либо положительна, либо положительна, либо - нулевая.
