2014-02-02
423
Эквивалентные последовательности рациональных чисел
Определение. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел 
называются эквивалентными, если 
является нулевой последовательностью, иначе 
.
Теорема 5. Отношение ≈ на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел является отношением эквивалентности.
Доказательство.
Обозначим множество всех последовательностей рациональных чисел через 
.
1. Рефлективность (?)
.
2. Симметричность (?)
3. Транзитивность (?)
.
что и требовалось доказать
Теорема 6. Любая подпоследовательность фундаментальной последовательности эквивалентна ей.
Доказательство.
Пусть - ф.п.р.ч., - произвольная подпоследовательность последовательности . Тогда 
- монотонно возрастающая функция на множестве натуральных чисел. Покажем, что 
.
В силу фундаментальности последовательности имеем 
. Учитывая это, получим
.
что и требовалось доказать
Теорема 7. Фундаментальная последовательность рациональных чисел, эквивалентная нулевой, положительной, отрицательной является соответственно нулевой, положительной, отрицательной.
