Коллинеарность векторов

Равенство векторов.

Линейные операции над векторами.

Действия над векторами, заданными проекциями.

Пусть векторы а = (а_х; а_y; а_z) и b = (b_х; b_y; b_z) заданы своими проекциями на оси координат OX, OY и OZ или что тоже самое:

а = а_хi + а_yj + а_zk

b = b_хi + b_yj + b_zk

Так как операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

1)а ± b = (а_х ± b_х)i + (а_y + b_y)j + (а_z + b_z)k

а ± b = (а_х ± b_х; а_y ± b_y; а_z ± b_z)

2)λa = λ а_хi +λ а_yj + λа_zk

λa = (λ а_хi; λ а_yj; λа_zk)

Два вектора а и b равны тогда и только тогда, если

Выясним коллинеарность векторов а и b, заданными своими координатами. Так как а параллелен b, то можно записать а = λb, где λ = const., то есть:

а_хi + а_yj + а_zk = λ (b_хi + b_yj + b_zk) = λ b_хi + λ b_yj + λ b_zk, отсюда: а_х= λ b_х; а_y = λ b_y; а_z= λ b_z,

то есть:

Таким образом проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: вектора, имеющие пропорциональные координаты коллинеарны.