Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l α

M

M₁ L

Проекции точки М на ось l называется основание перпендикуляра ММ₁ опущенного из точки на ось. Точка М₁ – есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси. Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть АВ - произвольный вектор. │АВ│≠ 0. Обозначим через А₁ и В₁ проекции на ось l соответственно начало А и конец В вектора АВ и рассмотрим вектор А₁В₁

Проекции вектора АВ на ось l называется положительное число │А₁В₁│, если вектор А₁В₁ и ось l одинаковы направлены, и отрицательное число - │А₁В₁│, если вектор А₁В₁ и ось l противоположно направлены.

А В

А₁ В₁ l (и соотв

наоборот)

Если точки А₁ и В₁ совпадают (│А₁В₁│=0), то проекцией вектора АВ=0. Проекция вектора АВ на ось l обозначается: пр_lАВ. Если АВ = 0 или АВ перпендикулярен к оси l, то пр_lАВ=0.

Угол φ между вектором а и осью l изображен на рисунке:

A

φ l

Рассмотрим некоторые основные свойства проекции:

1) Проекция вектора а на ось l равна произведению модуля вектора а на cosφ

пр_l а= │а│∙ cosφ

Если

Если

Если

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и туже ось равны между собой.

2) Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. d = a + b + c; пр_l(a+b+c) = пр_la + пр_lb + пр_lc

b

a с

d

a b l

d c

3) При умножении вектора а на число λ, его проекция на ось также умножается на это число: пр_l(λa) = λ пр_la

при λ›0 имеем: пр_l(λa) = │λa │cosφ = λ│a│ cosφ = λ пр_la

при λ‹0 имеем пр_l(λa) = │λa │cos(π-φ) = -λ│a│(-cosφ) = λаcosφ = λ пр_la

свойство спра ведливо при λ = 0