Угол между векторами

Выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть заданы два вектора а = а_хi + а_yj + а_zk и b = b_хi + b_yj + b_zk. Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их, как многочлены и пользуясь таблицей скалярных произведений векторов i, j, k

a∙b = (а_хi + а_yj + а_zk)(b_хi + b_yj + b_zk)= а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z

То есть a∙b = а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z

Пример: доказать что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(

-4;-4;4), В(-3;2;2), С(2;5;1) и D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора АС и ВD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника, имеем:

АС(2-(-4);5-(-4);1-4)=(6;9;3) и BD(6;-4;0)

Найдем скалярное произведение этих векторов:

АС∙BD = 6∙6+9(-4)+0(-3) = 36-36 = 0

Следовательно вектор АС перпендикулярен вектору BD, значит диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Определение угла φ между векторами а (а_х; а_y; а_z) и b(b_х; b_y; b_z)

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторо a и b:

а_хb_х + а_yb_y + а_zb_z = 0

Проекции вектора_.

Нахождение проекции а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле:

или , то есть