Определение параметров уравнения регрессии

Рассмотрим нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам. Пусть в результате наблюдения получен ряд изучаемого показателя X и Y. По этим значениям можно построить график.

X	x 1	x 2	…	xn
Y	y 1	y 2	…	yn

Затем необходимо определить параметры выбранной зависимости a и b таким образом, чтобы расчетная кривая лежала как можно ближе к экспериментальной кривой.

Для этого сначала необходимо привести уравнение регрессии к линейному виду. Это преобразование называется линеаризацией. Для этого необходимо ввести замену переменных согласно выбранной модели (в соответствии с таблицей). После введения новых переменных U и Z, необходимо рассчитать параметры A и В этого уравнения.

В качестве критерия близости S выбираем минимум суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями. Учитывая, что в каждом конкретном случае линейный вид уравнения различный, запишем этот критерий в универсальном виде:

Для каждой формулы из табл. в этом критерии будут присутствовать разные переменные в зависимости от приведения их к линейному виду. Например, для первой формулы U = lg Y; Z = lg X. Тогда система нормальных уравнений для определения параметров линейной зависимости будет иметь вид:

,

где [ Z ] = S Z_i; [ U ] = S U_i; [ Z ²] = S Z_i × Z_i; [ U × Z ] = S U_i × Z_i; n – количество экспериментов; A = lg a и b – искомые коэффициенты уравнения (для определения а необходимо выполнить обратное преобразование: a = 10 ^A).

Для нахождения соответствующих сумм в каждом случае необходимо получить различные вспомогательные таблицы с учетом приведения выражений к линейному виду. Например, для второй формулы из табл.2.3 S Z_i = S X_i, а S U_i = Slg(Y_i) и т.д.

Решив эту систему, получаем искомые значения параметров. Следует отметить, что при нахождении параметров других зависимостей необходимо сначала привести их к линейному виду согласно табл.2.3.

Для проверки правильности выполненных действий получаем расчетные значения подстановкой в найденную формулу экспериментальных значений X. Полученные расчетные значения наносим на график с экспериментальными данными и делаем вывод об адекватности.

X	x 1	x 2	…	xn
Y	y 1р	y 2р	…	yn р

Рассмотрим зависимость урожайности зерновых культур от количества внесенных удобрений:

Внесено удобрений, ц/га, x
Урожайность, ц/га, y

График экспериментальной кривой представлен на рисунке.

Принимаем X ₁ = 1, X_n = 5, Y ₁ = 6, Y_n = 13. Находим координаты средних точек:

1) ; ;

2) ; Y_k = 8,83;

3) X_k = 3; ;

4) X_k = 2,24; ;

5) ; Y_k = 9,5;

6) X_k = 1,67; Y_k = 8,21.

И наносим их на тот же график.

В связи с неровностью исходной кривой выбор зависимости неоднозначен – для учебных целей выбираем формулу 1: Y = a × Х^b. В линейном виде U = A + bZ; U = lg Y; A = lg a; Z = lg X.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Находим коэффициенты этой системы. Для этого оформляем табл. 2.4

Таблица 2.4. Промежуточные результаты расчета

X	Y	Z = log X	U = log Y	Z 2	Z × U	Y р
		0,00	0,78	0,00	0,00	6,14
		0,30	0,95	0,09	0,29	8,52
		0,48	1,00	0,23	0,48	10,33
		0,60	1,08	0,36	0,65	11,84
		0,70	1,11	0,49	0,78	13,16
		2,08	4,93	1,17	2,19

Решаем систему

; .

Так как в линейном виде участвует переменная A, необходимо перейти к исходной переменной а, по формуле а = 10 ^А = 10^0,788 = 6,136. В итоге получаем Y = 6,136 × Х ^0,474.

Расчетные значения по полученному уравнению регрессии приведены в последнем столбце табл.2.4. исходные и расчетные значения урожайности приведены на следующем графике:

По взаимному расположению двух кривых можно сделать вывод о достаточно хорошей сходимости полученного уравнения (далее будут применены статистические критерии сходимости).

Содержимое табл.2.4 зависит от выбранной формулы, в ней могут быть столбцы с разными Х, Y, Z, и U, конкретные значения которых зависят от соответствующих преобразований в последнем столбце табл.2.3. Например, для 6-й формулы из табл.2.3 вместо X в табл.2.4 будет значение Z = 1/ X, а вместо Y – U = 1/ Y. Соответственно изменятся и столбцы Z ² и U × Z вместо Y × Z. Преобразуется и система нормальных уравнений.