double arrow

Разностные уравнения

Построение кривых переходного процесса

Теоретически кривая переходного процесса получается при решении дифференциального уравнения операторным методом, путем отыскания оригинала выходного сигнала при заданном типовом воздействии. График решения дифференциального уравнения и является кривой переходного процесса.

В курсе рассматриваются следующие методы построения кривой переходного процесса:

- метод трапецеидальных вещественных частотных характеристик (самостоятельно);

- на основе разностных уравнений.

Построение кривой переходного процесса на основе разностных уравнений предполагает дискретизацию непрерывных (аналоговых) уравнений.

Процесс дискретизации можно представить в виде работы следующего элемента (ключа) (рис. 5.9), где Dt – шаг дискретизации.

Рис. 5.9. Схема дискретизации переменной

Пусть x(t) – входной сигнал элемента представляет собой решение дифференциального или интегро-дифференциального уравнения (рис. 5.10а). На выходе ключа имеем сигнал xp(t), представленный на рис. 5.10б, т.е. последовательность импульсов длительностью h, где h – время замыкания ключа. Если h<<Dt, то временем замыкания ключа можно пренебречь, что показано на рис. 5.10в.

Математически этот сигнал записывается в виде:

. (5.16)

Рис. 5.10. Процесс дискретизации сигнала

и называется такой сигнал дискретным или решетчатым. Время ti=iDt называется дискретным временем. Если шаг дискретизации постоянный (Dt=const), то вместо дискретного времени ti=iDt используют аналог дискретного времени i, представляющий собой целое число. Тогда дискретный сигнал записывается в виде x(i), т.е.

x(i)= xр(iDt). (5.17)

Для получения дискретного сигнала x(i) на основе непрерывного x(t), представляющего собой решение дифференциального или интегро-дифференциального уравнения, достаточно последний дискретизировать с шагом Dt в соответствии с выражением (5.17). Например:

, то .

Дискретный сигнал x(i) можно получить и путем дискретизации непрерывных (дифференциальных или интегро-дифференциальных) уравнений, т.е. путем перехода к разностным уравнениям. Для получения разностного уравнения достаточно любую дискретную функцию, зависящую от другой дискретной функции представить в рекуррентной форме.

Линейное разностное уравнение n-го порядка записывается в виде:

, (5.18)

где i – аналог дискретного времени; a0, a1,…,an, b0, b1,…,bm – коэффициенты разностного уравнения.

Выразив y(i) из уравнения (5.18), получим рекуррентную формулу вида:

(5.19)

где


Сейчас читают про: