Общее ур-е прямой, нормальный вектор прямой,взаимное расположение 2х прямых

Теор. Общее ур-е прямой

В прямоуг. Декартовых координатах каждая прямая определяется ур-ем 1степени Ах+Ву+С=0 (*)

Ур-е (*) при произвольных А,В,С А,В≠0 одовременно определяют некоторую прямую.

Док-во

Если прямая не ║Оу то у=Кх+в или Кх-у+в=0 А=К В=-1 С=в

Если прямая ║Оу то х=или х-=0 А=1 В=0 С=-

Обратное утв. Ах+Ву+С=0 Если В≠0, то у=

у=Кх+в К=- в=- Если В=0, то А≠0 х=- х=

Опр1. Ур-е вида Ах+Ву+С=0 наз общим ур-ем прямой

Теор. N(A,B), координаты которого являются коэф. Перед х,у в общем ур-е прямой Ах+Ву+С=0, ┴ прямой опред. этим ур-ем.

Док-во.

Ах+Ву+С=0

А+В+С=0 _ N(A,B)┴=)

А +В +С=0

=0

Опр2. N=(A,B)наз нормальный вектор прямой Ах+Ву+С=0, а единичный вектор n=- наз нормаль. Нормальный вектор позволяет опред. расположение А+В+С=0 и А+В+С=0

1)не коллинеарны, то прямые пересекаются

2)отрогональны(┴), то прямые

3)коллинеарны, т.е , а ≠К, то прямые ║

, т.е , а =К, то прямые совп.

Пр.а)через (1;2) провести прямую ┴2х+3у+5=0

б) через (1;2) провести прямую ║2х+3у+5=0 М(х,у)

а)М ║N

a

a 3х-2у+1=0

б)М ┴N a(М;N) =0 М(х-1;у-2)a2(х-1)+3(у-2)=0

2х+3у-8=0

Угол между прямой и плоскостью.

А+В+С=0 и А+В+С 𝞿=?

=чтоб ⦟=90 ==0

у= у=

= - условие┴прямых

22.Нормальное ур-е прямой, расстояние от т. до прямой.

1)АВ=(х-р)

n=( АВ┴n a(AB;n)=0

(х-р

- нормальное ур-е прямой.

Ах+Ву+С=0 N=(A,B)a n==()=(

Ах+Ву+С=0 │

=0(чтоб перед р был знак -)

2)

n=(

d=││=│(│=││

d=││

прим.Найти расстояние от до прямой 3х-4у+10=0

3х-4у+10=0│:(-)

-3х/5+4у/5-2=0

d==4

23.Плоскости

Ах+Ву+Cz+D=0 N=(A,B,C) n=- нормаль

1)не коллинеарны, то пл-ти пересекаются по прямой

2)отрогональны(┴), то пл-ти

3)коллинеарны, т.е , а ≠К, то пл-ти ║

т.е , а =К, то пл-ти совп.

Угол 𝞿 между плос-тями: =

Условие┴пл-тей: ==0

Ур-е пл-ти в отрезках на осях(а,в,с)