Метод интегрирования по частям

Пусть и – дифференцируемые функции. Найдем дифференциал их произведения: . Проинтегрируем это равенство и воспользуемся свойством . Тогда получим формулу или

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула применяется, когда подынтегральное выражение можно представить в виде произведения двух множителей и так, чтобы отыскание функции по ее дифференциалу и вычисление интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем вычисление интеграла .

Умение разбивать разумным образом подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Укажем, когда и как это делается в некоторых случаях:

1) интегралы ,

где – многочлен, вычисляются многократным интегрированием по частям, причем следует взять , а оставшееся выражение взять за ;

при каждом применении формулы степень многочлена будет понижаться на единицу;

2) интегралы вида также вычисляются методом интегрирования по частям, но за следует взять соответственно функции .

Пример 1. Найти интеграл .

Положим .

Тогда , .

При отыскании функции мы взяли постоянную интегрирования . Легко проверить, что это не повлияет на конечный результат. Теперь применим формулу:

.

Еще раз применим формулу интегрирования по частям, положив . Тогда ,

.

Заметим, что если в первоначальном интеграле положить , то формула приведет к интегралу , более сложному, чем первоначальный.

Пример 2. Найти .

Положим .

Тогда и, используя формулу, получим

.

Преобразуем подынтегральную функцию: . Тогда

Итак, окончательно, .

Пример 3. Найти интеграл .

Положим . Здесь такой выбор и менее очевиден, чем в предыдущих примерах. В выражение для мы включили , чтобы получить и легко вычислить v: . Тогда

.

Пример 4. Найти интеграл .

Положим .

Тогда ,

.

Еще раз применим метод интегрирования по частям, положив . Тогда ,

.

Подставляя полученное значение интеграла в равенство, получим:

или и .

Здесь мы получили одну из первообразных. Чтобы записать множество первообразных, нужно добавить произвольное число . Итак,

.

Мы рассмотрели основные методы интегрирования – метод подведения под знак дифференциала, метод интегрирования по частям, метод замены переменной. Но эти методы далеко не всегда облегчают отыскание интеграла. Далее мы рассмотрим некоторые классы функций, для интегрирования которых есть свои специальные приемы.