Метод замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести данный интеграл к более простому. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

Пусть функция непрерывно дифференцируема на промежутке и имеет обратную функцию . Тогда

.

При замене переменной в интеграле нужно

а) заменить переменную на функцию , заменить на ,

б) вычислить получившийся интеграл,

в) результат выразить через первоначальную переменную .

Пример 1. Найти . Это − интеграл типа .

В соответствии с рекомендацией сделаем замену . Тогда , Подставим выражения для в интеграл:

.

Получившийся результат надо выразить через переменную . Учитывая, что получим

.

Пример 2. Найти . Это − интеграл типа .

В соответствии с рекомендацией сделаем замену . Тогда

.

Подставляя выражения для в интеграл, получим

Получившийся результат надо выразить через переменную , учитывая, что . Удобно воспользоваться прямоугольным треугольником с углом t, противолежащим катетом и прилежащим катетом, равным 3 (рис. 1). Тогда

и .

Пример 3. Найти .

Сделаем замену переменной . Тогда ,

.

Подставляя , получим .