Отыскание векторного потенциала

Прежде всего отметим, что векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностью до градиента произвольной функции.

Действительно, так как поле потенциально, то и потому

;

значит, вектор также является векторным потенциалом поля . Поэтому подбором вектора можно добиться того, чтобы одна из координат векторного потенциала равнялась нулю, т.е. можно искать векторный потенциал, например, в виде . Тогда

.

Так как , то получим систему уравнений

.

Проинтегрируем первое и второе из равенств по :

;

здесь произвольные функции, не зависящие от переменной интегрирования . Подставляя найденные в третье из равенств, найдем функции

Пример 2. Проверить соленоидальность поля и найти его векторный потенциал.

Решение. Так как , то поле соленоидально, т.е. . Будем искать векторный потенциал в виде . Тогда

.

Так как то получим систему уравнений

.

Проинтегрируем первое и второе из этих равенств по :

Подставив эти выражения для в третье из равенств, получим

.

В частности, можно взять . Тогда векторный потенциал

.