Гармоническое скалярное поле

Гармонические поля

Скалярное поле называется гармоническим, если функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Правая часть уравнения Лапласа называется оператором Лапласа и обозначается . Оператор Лапласа будет использован в дальнейшем при решении задач математической физики (задач колебания, теплопроводности, диффузии).

В прямоугольной системе координат

и уравнение Лапласа примет вид

.

Пример 1. Показать, что поле является гармоническим в пространстве , а поле является гармоническим в пространстве .

Решение. 1). По свойствам градиента .

По свойствам дивергенции .

Учитывая, что в пространстве , , получим:

.

2). В пространстве для поля имеем:

.