Эргодичность и перемешивание

Пусть образ В неподвижен и имеет произвольную меру. По происшествию длительного времени внутри В можно будет обнаружить кусочки области А, т.е. Аt=F^tA. Если мы выберем правильные точки в область В при t➝∞, то кусочки области А_t оказываются в любой сколь угодно малой окрестности выбранной точки. Иными словами исходная область А с течением времени превращается в очень тонкую всепроникающую паутину, нити которой можно обнаружить внутри любого сколь угодно малого объема. При том в силу т. Леовиля, объем занимаемый этой паутиной равен объему исходной области А, более того получается при t➝∞ паутина равномерно и однородно пронизывает фазовое пространство и согласно нашему критерию внутри любой наугад взятой области паутина занимает одну и туже относительную область объема

Выберем область А бесконечно малой (А➝0). И расположим её в любой области фазового пространства и посмотрим что будет при t➝∞.окажется что наша область А превратится в бесконечно пронизывающуюся паутину, независимо от её начальных размеров и места положения. Из этого следует, что фазовой траекторией динамической системы с перемешиванием абсолютно неустойчивы и разбегаются с течением времени.

Вывод: а) разбегание траекторий означает непредсказуемость поведения системы. Если в начальный момент времени мы знаем положение нашей точки с конечной точностью, то сказать где именно наша точка окажется через длительный промежуток времени невозможно.

Лаплас придумал демона предсказания, который всегда знал состоянии всех атомов во вселенной.

б) перемешивание приводит к необратимости. Внутри любой части фазового пространства с течением времени оказываются кусочки из самых разных областей, следовательно, зная, что в начальный момент времени частица находится в пределах малой области Ωt, мы не можем сказать, где она находилась в начальный момент времени. Это носит название необратимости.

Как следствие это приводит к необходимости применять для описания динамических систем статистических методов.

Как связанны понятие перемешивания и эргодичности. Можно сказать, что эргодичность складывается из перемешивания, но не наоборот. Иными словами перемешивание более сильное свойство системы, обладает необратимостью и непредсказуемостью и, следовательно, не может быть описано детерминировано. Долгое время считалось что перемешивание и хаотичное поведение возможно только в системах обладающих чрезвычайно большим числом степеней свободы. Число степеней свободы – количество параметров однозначно определяющих состояние системы.

{q_i, p_i} 1 ≤ i ≤ N

1962 году – советский физик (математик) Я.Г. Синай показал, что очень простая система, состоящая из двух твердых

шаров, помещенных в ящик с жесткими стенами,

испытывает столкновения, испытывает

перемешивание.

Мы рассмотрели динамические гамильтоновы системы фазовый объем которых сохраняется с течение времени и показали что они обладают хаотическим поведением.