double arrow

Выделение области устойчивости методом D - разбиения

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть – дополняющая первую - обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D - разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:

. (2.7.)

Пусть все коэффициенты заданы, кроме a0 и an. Предположим, что уравнение (2.7.) имеет в плоскости корней kкорней слева от мнимой оси и n - kкорней справа для каких–то значений a0 и an , рис. 5.21.

V p a0

k n-k

D(k, n-k)

0 U

0 an

Рис. 5.21 Рис 5.22

Будем менять значения коэффициентов a0 и an и находить корни. Возможно, для некоторой совокупности значений a0 и an количество корней слева и справа от мнимой оси не меняется. Т. е. соотношение между k и n-k остается постоянным. Тогда как совокупность других значений коэффициентов a0 и an меняет соотношение между kи n–k. Можно указать границу, отделяющую область постоянного отношения kи n-k. Эту область обозначают D(k, n - k), рис. 5.22.

Например, для характеристического уравнения четвертой степени

в плоскости коэффициентов могут быть следующие области:

D(0,4), D(1,3), D(2,2), D(3,1), D(4,0).

Всего n + 1 областей.

Из всех D(k, n - k) областью устойчивости будет только одна: D(n, 0). В ней все корни, располагающиеся слева от мнимой оси, имеют отрицательную действительную часть. Мнимая ось – граница устойчивости в плоскости корней. В плоскости коэффициентов кривая, отделяющая область устойчивости от области неустойчивости, будет ничем иным, как преобразованной мнимой осью.

5.5.1. D – разбиение по одному


Сейчас читают про: