Пример 5.10

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

.

Полагая k = 2 проверить с помощью критерия Найквиста, будет ли устойчивой замкнутая система?

Предварительно выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица: система устойчива.

Найдем комплексную частотную характеристику:

.

Выделим действительный и мнимый частотные полиномы:

,

.

Изменяя w от 0 до ¥, построим годограф разомкнутой системы.

По условию V (w) = 0 находим частоты пересечения годографом действительной оси и соответствующие значения U (w):

V (w) = 0, 4 w - w ³ = 0, w ₁ = 0, w ₂ = 2,

U (0) = 2. U (2) = -0,18.

Полагая U (w) = 0, находим частоту пересечения годографом мнимой оси и соответствующее значение V (w):

U (w) = 0, 1-3 w ² = 0, ,

V (0,58) = -3,7.

Для w = 1 получаем U (1) = -0,3, V (1) = -0,46.

При w = ¥ U (¥) = 0, V (¥) = 0.

Вид годографа показан на рис. 5.20.

Рис. 5.20.

Разомкнутая система устойчивая, годограф не охватывает точку (-1,0), значит, замкнутая система тоже устойчивая.