Несобственный интеграл

Лекция 10.

Пусть функция f(x)определена на промежутке [a,+∞] и интегрируема на любом отрезке [a,R]R>0, так что интеграл имеет смысл.

Предел этого интеграла при Rà ∞ называется несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (или собственным интегралом первого рода)

В случае если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию называют интегрируемой на бесконечном промежутке [a,∞); если предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пример 1:

Предел функции cos R, при не существует, т.е. данный интеграл расходящийся.

Пример 2:

т.е. данный интеграл сходится.

Пример 3:

, где ф- некоторое положительное число. Рассмотрим разные случаи для числа а.

1. При а=1 для любого R>0 имеем:

т.е конечного предела не существует несобственный интеграл расходится.

2. При а≠1 для любого R>0 имеем:

Следовательно, данный интеграл сходится при

Понятие функции нескольких переменных.

Всякий упорядоченный набор из n действительных чисел x₁…. x_n обозначается (x₁ x_n) или Р(x₁ x_n) и называется точкой n-мерного арифметического пространства R_n, числа x₁…. x_n называется координатами точки Р= Р(x₁ x_n) Расстояние между точками Р(x₁ x_n) и Р`(x`₁ x`<sub>n</sub>) определяется формулой: ρ(Р,Р`)=

Пусть DcRⁿ -произвольное множество точек n-мерного арифметического пространства. Если каждой точке R(x₁ x_n) €D поставлено в соответствие вполне определенное действие число f(P)=f (x₁ x_n), то на множестве D задана числовая функция f: Rⁿ. Множество D называется областью определения, а множество Е={u€R|u=f(P), P€D}- область значений функции u=f(P)

Пример:

Z=x²+y²

Областью определения этой функции является всё множество точек плоскости Оxy Область значений этой функции представляет собой параболу вращения, в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Oyz получается соответственно параболы z=x² и z=y²

Пример:

Эта поверхность в евклидовом пространстве Е. область определения данной функции все множество точек евклидова пространства Е² плоскости Oxy. Эта функция является так называемой эллиптическим конусом с вершиной.