Лекция 12. Для обозначения градиента функции используется символ grad u

Градиент.

Для обозначения градиента функции используется символ grad u:

Grad u:{}

Аналогично в случае функции двух переменных

Z= f(x,y) имеем:

Grad z:{}

Пример: Найти: градиент и его модуль функции z= в точке М(0,1)

Решение: По формуле имеем для функции двух переменных Grad z: {}= {}

При х=0 и y= 1 получаем:

Grad z|= {1, 0}, |Grad z|=1

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Частными производными 2-ого порядка от функции z=f (x,y) называется частные производные от её частных производных 1-го порядка:

;

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они не прерывны.

Пример:

Z= y lnx

Найти:

Решение: найдем частное производное

Дифференцируя повторно получаем:

Экстремум функции 2-х независимых переменных.

Экстремум функции. Функция z=f (x,y) имеет максимум (минимум) в точке М₀ (x₀,y₀) если значения функции в этой точке больше (меньше), чем её значение в любой другой точке М (x,y) некоторой окрестности точки М₀, т.е. f (x₀,y₀)> f (x,y) соответственно f (x₀,y₀) < f (x,y) для всех точек М(x,y) удовлетворяющих условию | М₀ М |< δ, где δ достаточно малое положительно число. Максимум или минимум функции называется экстремумом. Точка М₀, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума. Если дифференцируемая функция z=f (x,y) достигая экстремума в точке М₀ (x₀,y₀) то её частные производные 1-го порядка в этой точке равны 0, т.е.

Точки, в которых частные производные равны 0 называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума. Пусть М₀ (x₀,y₀) стационарная точка функции z=f (x,y).

Обозначаем: А=; В= , C=

Составим дискриминант. ∆= АС-В²,