Лекция 8. Интегралы, содержащие иррациональность

Пример №1

, где t= sin x

/

Интегралы, содержащие иррациональность.

= ln |x+1+| +C

Выделяется полный квадрат

+ C=

Интегралы вида:

С помощью подстановки , откуда

Dx=

D=4-3=1

X1= 3

X2= -1

Определенный интеграл.

Если функция f(x) определена на отрезке a≤x≤b b a=x₀≤ x₁ ≤ x₀≤ …≤ x_n-1≤ x_n=b -произвольное разбитие этого отрезка на n частей, то интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b] называется сумма вида:

Где X_k-1 ≤ Е_k ≤ X_k

∆X_k= X_k - X_k-1, k= 1,2,3…n- основания прямоугольников.

т.о.

f(Е_k)- высоты прямоугольников.

Свойства определенных интегралов.

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

где k- постоянная величина.

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

4. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то

5. Если функция всюду на отрезке [a,b], то

6. Если на отрезке g(x) всюду на отрезке [a,b], то

7. Если функция на отрезке [a,b], то

8. на отрезке [a,b], то

9. Теорема о среднем. Если g(x)=непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такое значение Е e [a,b], что

10. Если функция четная, то

Если функция нечетная, то

0

11. Формула Ньютона- Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a,b] функции равен приращению любой ее первообразной F(x) на этом отрезке:

Или

12. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], a= φ(α) и b= φ (β) и функция непрерывна в каждой точке х= φ(t), где t e[α, β], то

13. Интегрирование по частям определенного интеграла. Если функция u=u(x), v=v(x) имеют производные на отрезке [a,b], то