Лекция 9

Пример:

= ln e- ln1=1-0=1

Пример:

t=1+x² dt=2x dt, t=1

при х=0 и t=2, при х=1

т.к. х=непрерывна [1.2] то и новая подынтегральная функция также непрерывна => для нее существует первообразная на этом отрезке, получаем:

= ln t|

Пример:

u=x, du= dx

dv=, v=

Площадь плоской фигуры:

Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x)на отрезке [a,b] S=

Пример:

Найти S фигуры ограниченной линиями y=√x, y=x³.

Решение: вычислим абсциссы точек пересечения указанных кривых для чего приравняем правые части этих уравнений. √ x=x³.

Корни этого уравнения х₁=0, х₂=1.=> , ограниченной сверху y=√x и y=x³ дается определение на отрезке [0,1]

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=ln x≥0, осью Ох и прямой х=2

Решение: отрезок интегрирования 1≤х≤2, так что искомая площадь согласно формуле равна

S== x ln x |-

Объем тел вращения:

Вокруг оси Ох: Вокруг оси Оy:

Пример:

Кривые y=x², y=√x [0,1]

-

Кривые y=e^x, x=0,x=1,y=0

Выражаем x=lny