Свойства равномерно сходящихся рядов

Во всех теоремах предполагается, что обл-ть сходимости ряда, есть интервал оси

Теорема 1. Если ряд из непрерывных ф-й равномерно сходится в то его сумма есть ф-я, непрерывная в этой области.

Пример. Мы показали, что ряд сходится равномерно Следовательно его сумма непрерывна. Другое дело, что сумму найти трудно. Возьмем членов ряда. Их сумма равна Оценим предельную абсолютную ошибку

Остаток ряда зависит от и не зависит от

Теорема 2. Если ряд из непрерывных ф-й равномерно сходится, то .

Теорема 2 справедлива и для переменного внешнего предела

Теорема 3. Если ряд из ф-й, имеющих непрерывные производные, сходится в а ряд из производных сходится равномерно, то