Знакочередующиеся ряды

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде и то ряд сходится. Причем

Док-во. Возьмем для определенности Рассмотрим последов-сть сумм . Она возрастающая. . Выражение в квадратных скобках возрастающая последовательность. Следовательно последовательностьубывающая. Тогда . т.к. если то если то Послед-сть с четными индексами возрастает и ограничена сверху. Значит сущ-ет т. к. то Если бы перед рядом стоял минус, то картина зеркально отразится относ-но точки Остаток ряда удовлетворяет усл-ям признака Лейбница. Поэтому его сумма

Пример. Ряд сходится по признаку Лейбница, т. к. . Но ряд сходится плохо, т. к.