Теорема Абеля. Радиус сходимости. Св-ва степ-х рядов. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение ф-и в степ-е ряды. Применение степ-х рядов к приближ-м вычислениям

Определение. Степенным рядом наз-т функц-й ряд (*) Если то имеем ряд (**)

В дальнейшем будем рассматривать ряды вида (**), т. к. они сводятся к рядам вида (*) подстановкой

Теорема Абеля. Если степенной ряд (**) сходится в точке то он сходится абсолютно в интервале

Док-во. Т. к. ряд сходится, то Тогда Запишем (**) так: Ряд из абсолютных величин сходится т. к. Значит ряд (**) сходится абсолютно.

Следствие. Если ряд (**) расходится при то он расходится

Обл-ть сходимости. Возможны три случая:

1) Обл-ть сходимости состоит только из одной точки

Пример. Действ-но

2) Обл-ть сходимости

Пример. Действ-но и для члены ряда меньше сходящейся геом-й прогрессии.

3) Область ограничена.

Пример.

Определение. Радиусом сходимости степ-го ряда (**) наз-ся такое число ряд сходится, - расходится.

Интервал наз-ся интервалом сходимости.

В первом примере во втором - в третьем -

Для определения радиуса сходимости нужно исследовать ряд. Рассмотрим ряд Применим признак д’Аламбера Тогда Если то применяя радикальный признак Коши получим

Рассмотрим ряд Применяя признак д’Аламбера, получим

Рассмотрим ряд где произв-ая ф-я аргумента . Для определения обл-и сходимости применяют признак д’Аламбера.

Пример 1.

Пример 2. - ряд расходится, - ряд сходится условно. Окончательно

Пример 3. - ряд сходится, - ряд сходится,

Пример 4.

- ряд сходится условно, - ряд расходится,