Св-ва степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд (*)

имеющий радиус сходимости Сумма ряда есть ф-я определенная внутри интервала сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд сходится.

Лемма 1. Степ-й ряд равномерно сходится в любом интервале

Док-во. Выберем По теореме Абеля ряд сходится. имеем Последнее рав-во означает, что ряд (*) равномерно сходится в

Лемма 2. Степ-й ряд, составл-й из производных ряда (*) имеет тот же радиус сход-ти, что и ряд (*).

Док-во. Допустим, что сущ-ет Тогда Ряд производных имеет вид (**)

Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен Т. е. все степ-е ряды, полученные последовательным диф-нием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервале, принадлежащим области сходимости.

Св-ва. 1) Сумма степ-го ряда есть ф-я, непрерывная в интервале сходимости ряда.

Пример. Ф-я непрерывна всюду, за исключением точки Но она явл-ся суммой ряда только при

2) Степ-й ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости

3) Степ-й ряд можно почленно диф-ть любое число раз в интервале сходимости.