2014-02-02
406
Запишем ф-ю 
в виде 
Докажем теорему о структуре 
, которая позволит устанавливать, стремится ли 
к нулю при 
, т. е. разлагается 
в ряд Тейлора или нет.
Теорема. Если 
во всех точках некоторого интервала, содержащего точку 
, имеет производную 
, то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен 
где 
Док-во. Запишем остаточный член в виде
Найдем 
такое, чтобы для всякого 
, принадлежащего интервалу, выполнялось 
Зафиксируем 
Тогда 
Докажем, что это выражение равно 
При 
из теоремы Лагранжа 
Для других 
построим вспомогательную ф-ю 
удовлетворяющую теореме Роля. Пусть 
При 
заменив 
его значением, получим 
Найдем 
Только подчеркнутые члены не сокращаются. Производная 
сущ-ет во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим 
Подставим вместо значение 
при котором 
Тогда 
т. е. 
Т. к. 
- любая точка интервала, то теорема доказана.
Формула Тейлора для ф-и 
в точке 
При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до 
-й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.
Частные случаи
1) 
Это формула Лагранжа.
2) 
или 
Это линейная аппроксимация.
Т. к. - неизвестна, то нужно только оценить. Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива, 
Тогда для всякого принадлежащего интервалу 
Док-во. 
