double arrow

Тема 6. Нечеткие отношения

Пусть Е = Е1´Е2´ ...´Еn – прямое произведение универсальных множеств и М – некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как не-четкое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n = 2 и М = [0, 1], нечетким отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R: (X,Y) ® [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)ÎX´Y величину mR(x, y)Î[0, 1]. Обозначение: нечеткое отношение на X´Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X ® [0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

1. Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0, 1]. Нечеткое отношение R = X R Y может быть задано, к примеру, таблицей:

  y1 y2 y3 y4
x1 0,1 0,3
x2 0,8 0,7
x3 0,5 0,6

2. Пусть X = Y = (–¥, ¥), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x >> y (x много больше y) можно задать функцией принадлежности

3. Отношение R, для которого mR(x, y) =, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi, xj) в случае X R X соединяется ребром с весом mR(xi, xj), в случае X R Y пара вершин (xi, yj) сое-диняется ребром c весом mR(xi, yj).

Примеры:

1. Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0, 1], представимое графом:

2. Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение X R Y.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R) = {(x, y): R(x, y) > 0}.

Пусть R1 и R2 – два нечетких отношения такие, что (x, y)XY: R1(x, y) R2(x, y), тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2. Обозначение: R1R2.

Пример:

Отношения R1, R2 – отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1 отношение R2 содержит R1.


Сейчас читают про: