Тема 6. Нечеткие отношения

Пусть Е = Е₁´Е₂´...´Е_n – прямое произведение универсальных множеств и М – некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение определяется как не-четкое подмножество R на E, принимающее свои значения в М. В случае n = 2 и М = [0, 1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R: (X,Y) ® [0, 1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х, y)ÎX´Y величину m_R(x, y)Î[0, 1]. Обозначение: нечеткое отношение на X´Y запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X ® [0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

1. Пусть X = {x₁,x₂,x₃}, Y = {y₁,y₂,y₃,y₄}, М = [0, 1]. Нечеткое отношение R = X R Y может быть задано, к примеру, таблицей:

2. Пусть X = Y = (–¥, ¥), т.е. множество всех действительных чисел. Отношение x >> y (x много больше y) можно задать функцией принадлежности

3. Отношение R, для которого m_R(x, y) =, при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (x_i, x_j) в случае X R X соединяется ребром с весом m_R(x_i, x_j), в случае X R Y пара вершин (x_i, y_j) сое-диняется ребром c весом m_R(x_i, y_j).

Примеры:

1. Пусть Х={x₁,x₂,x₃}, и задано нечеткое отношение R: X´X® [0, 1], представимое графом:

2. Пусть X={x₁,x₂} и Y={y₁,y₂,y₃}, тогда нечеткий граф вида:

задает нечеткое отношение X R Y.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x, y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R) = {(x, y): _R(x, y) > 0}.

Пусть R₁ и R₂ – два нечетких отношения такие, что (x, y)XY: _R1(x, y) _R2(x, y), тогда говорят, что R₂ содержит R₁ или R₁ содержится в R₂. Обозначение: R₁R₂.

Пример:

Отношения R₁, R₂ – отношения типа y>>x (y много больше x). При k₂ > k₁ отношение R₂ содержит R₁.