Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения

Для определения потенциальной энергии выделим из бруса элементарный участок длиной dx (рис. 7.24). Брус может быть не только прямым, но иметь малую начальную кривизну. В каждом из поперечных сечений в общем случае нагружения возникает шесть силовых факторов: три момента и три силы.

По отношению к выделенному элементарному участку рассмотрим эти силовые факторы как внешние и определим работу, которая совершается ими при деформировании элемента. Эта работа переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке бруса.

Рисунок 7.24

Потенциальную энергию определим при следующих допущениях:

а) брус подвергается упругому деформированию;

б) точка приведения сил вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения, на которых совершается искомая работа;

в) каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти работы не совершает; потенциальная энергия элемента может рассматриваться как сумма независимых работ каждого из шести силовых факторов, т. е., иначе говоря, как сумма энергии кручения, изгиба, растяжения и сдвига:

dU = dU(M_x) + dU(M_y) + dU(M_z) + dU(N) + dU(Q_z) + dU(Q_y)

г) оси z и у являются главными центральными осями поперечного сечения бруса.

В общем случае для сложного напряженного состояния упругая потенциальная энергия в единице объема определяется выражением:

U₀ = (1/(2E)) [σ_x² + σ_y²+ σ_z² - 2μ (σ_x σ_y + σ_x σ_z + σ_y σ_z )] + (1/(2G)) (τ_yz² + τ_xy² + τ_xz²)

Для того чтобы получить потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение U₀ следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела:

В случае одноосного растяжения в сечении возникает только один силовой фактор‑нормальная сила N, которая обусловлена действием нормальных напряжений σ_x. Остальные компоненты напряжений σ_y = σ_z = τ_yz = τ_xy = τ_xz = 0. Потенциальная энергия dU(N) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана:

Учитывая, что, то после подстановки получим:

Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию:

(1)

При кручении в сечении бруса возникает крутящий момент, который обусловлен действием касательных напряжений τ. При этом остальные компоненты напряжений σ_x = σ_y = σ_z = τ_yz = 0. Потенциальная энергия dU(M_x) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана:

Учитывая, что и, то после подстановки получим:

Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию:

(2)

В случае поперечного изгиба в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты M_y, M_z, которые обусловлены действием нормальных напряжений σ_x, и перерезывающие силы Q_y, Q_z, которые обусловлены действием касательных напряжений τ_xy, τ_xz. Учитывая, что σ_y = σ_z = τ_yz = 0, потенциальная энергия dU(M_y) в элементарном объеме F dx может быть подсчитана:

dU = dU(M_y) + dU(M_z) + dU(Q_z) + dU(Q_y) = (3)

Нормальные напряжения от действия изгибающих моментов M_y, M_z соответственно:

, (4)

Касательные напряжения от действия перерезывающих сил Q_y, Q_z определим по формуле Журавского:

, (5)

Подставим соотношения (4) и (5) в выражение (3), получим выражение потенциальной энергии в элементарном объеме при поперечном изгибе:

,

здесь k_y, k_z – коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения касательных напряжений по сечению при изгибе.

Интегрируя по длине бруса l, находим суммарную потенциальную энергию:

(6)

Просуммировав соотношения (1), (2) и (6), получим выражение потенциальной энергии пространственного бруса: