2014-02-02
796
Внешне статически неопределимые рамы
Проследим последовательность составления уравнений совместимости перемещений методом сил на примере плоской внешне статически неопределимой рамы (рис. 8.3).
Рисунок 8.3
Число внешних степеней свободы:
n = 3d – 2s – c0 = 3×1 - 2×0 - 6= -3
Следовательно, заданная рама внешне трижды статически неопределима.
Построим основную систему (рис. 8.4) путем удаления внешней нагрузки и избыточных опорных связей, например, одну в катке и две в правой шарнирной опоре.
Рисунок 8.4
Построим эквивалентную систему (рис. 8.5) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестных усилий X1, X2, X3, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют линейным перемещениям сечений рамы в заделках.
Рисунок 8.5
Величины неизвестных усилий X1, X2, X3 найдем из условия равенства нулю перемещений освобожденных опорных сечений по направлению удаленных связей δ1., δ2, δ3. Эти перемещения вызываются в эквивалентной системе совместным действием заданной нагрузки и самих усилий X1, X2, X3, т.е.:
δ1(M, X1, X2, X3) =0;
δ2(M, X1, X2, X3) =0; (1)
δ3(M, X1, X2, X3) =0.
В приведенных выражениях индексы 1, 2, 3 показывают, что рассматриваются перемещения опорных сечений по направлению X1, X2, X3 соответственно от совместного действия нагрузок M, X1, X2, X3.
Согласно принципу независимости действия сил перемещение сечения от одновременного воздействия группы нагрузок равно сумме перемещений от каждой из нагрузок в отдельности.
Поэтому любое из уравнений (1) можно представить в виде:
δi(M, X1, X2, X3) = δiM + δiX1 + δiX2 + δiX3 = = 0 (2)
где - перемещение в направление усилия Xi от действия усилия Xk.
Но перемещение от усилия Xk пропорционально величине этого усилия, поэтому:
где - перемещение в направление усилия Xi от единичного усилия, приложенного в направлении усилия Xk.
Итак, уравнения совместимости деформаций (2) запишутся в виде:
, или в развернутом виде:
δ1M + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0
δ2M + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0 (3)
δ3M + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0
Равенства представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных усилий X1, X2, X3 и называются каноническими уравнениями метода сил. Коэффициенты вида δ11, δ22, δ33 …… δii – называются основными коэффициентами, а δ12, δ13, δ21, δ23, δ31, δ32 ………. δik – побочными.
Уравнения (3) выведены на примере рамы, у которой избыточными были внешние (опорные) связи, т.е. внешне статически неопределимой рамы.
Рассмотрим теперь раму, в которой избыточными являются только внутренние связи (рис. 8.6)
Рисунок 8.6
Число внутренних степеней свободы:
n = 3d – 2s – c0 = 3×0 - 2×0 - 3= -3
Следовательно, заданная рама внутренне трижды статически неопределима.
Построим основную систему (рис. 8.7) путем удаления внешней нагрузки и введения разреза рамы.
Рисунок 8.7
Для получения эквивалентной системы (рис. 8.8) добавим к основной системе внешнюю нагрузку и неизвестные внутренние усилия X1, X2, X3, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют относительным линейным перемещениям и повороту смежных сечений рамы в разрезе.
Рисунок 8.8
В действительности разрез отсутствует и поэтому относительные перемещения двух смежных сечений эквивалентной системы от совместного действия заданной нагрузки и силовых факторов X1, X2, X3 должны быть равны нулю. Как и в случае, внешне статически неопределимых систем, запишем условия равенства нулю относительных перемещений смежных сечений в разрезе эквивалентной системы в виде канонических уравнений:
δ1P + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0
δ2P + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = 0 (4)
δ3P + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0
Канонические уравнения совместимости перемещений для внутренне статически неопределимых систем отличаются от аналогичных уравнений для внешне статически неопределимых систем только тем, что в первом случае коэффициенты уравнений представляют собой относительные перемещения двух смежных сечений в месте разреза, а во втором случае - это абсолютные перемещения сечений по направлению внешней связи.
