Расчет на прочность при кручении

При кручении стержня сплошного круглого сечения касательные напряжения в упругой области на расстоянии ρ от центра сечения определяются формулой (рис 10.19а):

,

Условие текучести при расчете по допускаемым напряжениям:

,

т.е опасное состояние определяется появлением пластических деформаций в крайних волокнах, когда крутящий момент:

M_x=W_p×τ_Т= τ_Т×(πr³/2)

Рисунок 10.19

Однако, несмотря на то, что в крайних волокнах возникнут касательные напряжения равные пределу текучести, стержень сохранит способность воспринимать возрастающий крутящий момент до тех пор, пока касательные напряжения не достигнут предела текучести во всех точках сечения (рис 10.19б). Соответствующий предельный крутящий момент можно вычислить (рис. 10.19в):

(1)

Отношение предельного момента М_пр к моменту M_x будет:

Таков скрытый запас прочности, который обнаруживается при переходе от расчета по допускаемым напряжениям к расчету по предельному состоянию.

Пример 10.9

Вал кольцевого поперечного сечения должен иметь толщину стенки, равную 0,1 наружного диаметра. Определить, по предельному состоянию, наружный диаметр вала, если он нагружен крутящим моментом М_к =9 кНм. Вал выполнен из материала с пределом текучести τ_Т =140 МПа, и коэффициент запаса принят равным n =2.

Решение.

При расчете по предельному состоянию, опасным является состояние, при котором напряжения по всему поперечному сечению достигают предела текучести.

Выделим в пределах сечения бесконечно тонкое кольцо толщиной dr с радиусом r. (рис. 10.20).

Рисунок 10.20

Его площадь равна:

dF= 2p r dr

При достижении напряжениями значения. Т, крутящий момент, созданный ими по площади кольца относительно центра вала, равен:

dM_Т = 2p r dr τ_Т r,

а при интегрировании по всему сечению:

Наибольшее безопасное значение крутящего момента при запасе прочности n:

Условие прочности принимает вид:

,

откуда можно определить наружный радиус сечения:

В нашем случае:

, следовательно:

Пример 10.10

Определить по предельному состоянию диаметр d вала сплошного круглого поперечного сечения, защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рисунке 10.21а, крутящим моментом М_кр =31,4 кНм. Материал стержня пластичный с пределом текучести τ_Т =140 МПа.

Рисунок 10.21

Решение.

В предельном состоянии во всех сечениях вала будут действовать касательные напряжения равные пределу текучести τ_Т. В этом случае М_А=М_В=М_кр /2 является предельным значением крутящего момента. Эпюра крутящих моментов будет иметь вид, приведенный на рисунке 10.21б.

Предельное значение момента можно определить из соотношения (1):

,

Откуда необходимый диаметр сечения вала: