Расчет на устойчивость по аналитическим зависимостям

Раздел 3 Расчет на устойчивость

Расчетом на устойчивость определяют величину сжимающей критической нагрузки P_кр, при которой прямолинейный сжатый стержень оказывается в опасном (критическом) состоянии безразличного равновесия, т.е. переходит к новой криволинейной форме равновесия. Отношение критической нагрузки к действующей величине P называется коэффициентом запаса устойчивости n_у.

Запас устойчивости n_у, из-за возможной эксцентричности приложения нагрузки, искривления стержня и неоднородности, всегда принимается несколько больше коэффициента запаса статической прочности n_σ. Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости для стальных стоек находятся в пределах n_у =1,5÷3.

Расчет на устойчивость можно проводить как по аналитическим зависимостям, так и по коэффициентам снижения основного допускаемого напряжения.

Различают три вида расчетов на устойчивость по аналитическим зависимостям: проверочный расчет, определение допускаемой нагрузки и проектировочный расчет.

1) Проверочный расчет. Цель этого расчета в оценке устойчивости рассчитываемого элемента при действии на него заданной внешней нагрузки.

Расчет проводим в несколько этапов.

а). Вычисляем гибкость стержня λ и предельное значение гибкости λ_пред по формулам:

,,, где

μ - коэффициент приведения длины, учитывающий характер закрепления концов стержня;

l – длина стержня;

I_min - минимальный главный центральный момент инерции сечения;

σ_пц – предел пропорциональности материала стержня;

E – модуль упругости материала стержня.

б). Определяем критическую нагрузку Р_кр.

В зависимости от гибкости сжатые стержни условно делим на три группы:

- стержни большой гибкости (λ ≥ λ_пред), для которых критическую нагрузку Р_кр определяем по формуле Эйлера:

- стержни средней гибкости (λ₀ ≤ λ ≥ λ_пред), для которых расчет на устойчивость проводим по формуле Ясинского:

P_кр = σ_кр F,

,

λ₀ ≈ (0,2-0,4) λ_пред

г де σ_кр – критические сжимающие напряжения;

F – площадь поперечного сечения стержня;

σ_тс – предел текучести материала стержня на сжатие.

Либо расчет проводим по формуле Кармана:

,,

где I₁, I₂ - моменты инерции площадей зон догрузки и разгрузки относительно нейтральной оси.

I – момент инерции всего сечения относительно главной центральной оси;

E_пр - приведенный модуль или модуль Кармана;

E_к- касательный модуль упругости;

Е - модуль упругости.

- стержни малой гибкости (λ₀ ≤ λ), для которых расчет на устойчивость не проводим, а проверяем их прочность на сжатие.

в). Определяем коэффициент запаса устойчивости и сравниваем полученное значение запаса устойчивости с требуемым значением.

2) Определение допускаемой нагрузки. В этом расчете определяем максимально допустимое значение сжимающей силы, при которой будет обеспечен требуемый запас устойчивости n_у. Также как и в проверочном расчете определяем значение критической нагрузки Р_кр. Затем по найденному значению критической нагрузки Р_кр и заданному значению запаса устойчивости n_у определяем допустимую величину сжимающей нагрузки.

3) Проектировочный расчет. Расчет заключается в определении требуемых размеров стержня, при которых он будет обладать требуемым запасом устойчивости.

Поскольку размеры сечения неизвестны и, следовательно, гибкость стержня не может быть определена, то расчет вначале ведем по формуле Эйлера, предполагая, что гибкость стержня не меньше предельной. В этом случае условие устойчивости имеет вид:

Учитывая, что, определяем потребный минимальный момент инерции сечения:

Задаемся формой и размерами сечения и вычисляем радиус инерции i, гибкость стержня λ и предельное значение гибкости λ_пред по формулам:

,,, λ₀ ≈ (0,2-0,4) λ_пред

Если при выбранных размерах λ₀≤λ≥ λ_пред, то расчет на устойчивость повторяем. В этом случае потребную площадь поперечного сечения определяем по формуле:

Критические напряжения σ_кр определяем либо по формуле Ясинского:

,

либо по формуле Кармана:

Пример 10.13

Определить запас устойчивости продольно нагруженной стойки (рис. 11.28а) при двух вариантах ее изготовления из двух швеллеров №5 и двух полос (рис. 11.28б, в). При расчете принять P =200 кН. Материал стойки- сталь с механическими характеристиками σ_пц =220 МПа, σ_т =280 МПа, Е =2×10⁵ МПа.

Рисунок 10.28

Решение.

I. Рассмотрим первое расположение швеллеров, приведенное на рисунке 10.28б.

1. По ГОСТ 8240-72 для швеллера №5 находим:

F_шв = 6,16×10^-4 м²,

I_{z шв} = 22,8×10^-8 м⁴, i_{z шв} = 1,92 10^-2 м,

I_{y1 шв} = 5,61×10^-8 м⁴, i_{y шв} = 0,954 10^-2 м.

2. Вычислим моменты инерции сечения, показанного на рис. 10.28б, относительно осей z и y.

3. Определим гибкость стержня.

Минимальным оказался момент инерции относительно оси y, следовательно:

, где

F = 2(F_шв + F_пол) = 2(6,16+7×0,6)×10^-4 = 20,72×10^-4 м²

Гибкость стержня:

, где μ = 2 для жесткой заделки стержня с одной стороны.

Определим предельное значение гибкости:

4. Так как λ < λ_пред, формула Эйлера неприменима, поэтому критическую силу вычисляем по зависимости Ясинского:

P_кр = σ_кр×F = 223,8 ×10⁶ ×20,72×10^-4= 463,7 кН, где

.

5. Определим коэффициент запаса устойчивости:

, что меньше требуемого запаса устойчивости на %

II. Рассмотрим второе расположение швеллеров, приведенном на рисунке 10.28в.

1. Очевидно, что момент инерции сечения относительно оси z не изменится I_z = 112×10^-8 м⁴

В этом случае стойка практически равноустойчива во всех направлениях I_z ≈ I_y.

2. Определим гибкость стержня.

Минимальным оказался момент инерции относительно оси y, следовательно:

.

Гибкость стержня:

, где μ = 2, так как стержень жестко заделан с одной стороны.

3. Так как λ < λ_пред, критическую силу вычислим по эмпирической зависимости Ясинского:

P_кр = σ_кр×F = 235,5 ×10⁶ ×20,72×10^-4= 487 кН, где

.

4. Определим коэффициент запаса устойчивости:

, что меньше требуемого запаса устойчивости на

Пример 10.14

Определить напряжение и проверить прочность тяги 6-7 двойного управления рулем высоты при действии на каждую штурвальную колонку (рис. 10.29) расчетной нагрузки Р^р =1,8 кН в двух направлениях, если H =0,8 м, r =0,08 м, l_6-7 =1,2 м. Тяга выполнена трубчатого сечения D × d =45×40 мм из алюминиевого сплава с характеристиками σ_в =440 МПа, Е =7×10⁴ МПа, σ_пц =350 МПа.

Рисунок 10.29

Решение.

1. Определим усилия в стержнях.

При изменении направления усилия на штурвальную колонку усилия в тягах только изменят знак.

2. Определим геометрические характеристики сечения тяг.

Для кольцевого сечения:

площадь сечения-

осевой момент инерции-

радиус инерции-

3. Определим напряжение в тяге 6-7:

4. Проверим прочность тяги 6-7 на растяжение:

а) запишем условие прочности:

109,1≤420

б) определим коэффициент избытка прочности:

5.Проверим прочность тяги 6-7 на сжатие:

а) Определим гибкость стержня.

, где μ = 1, так как стержень шарнирно оперт с обоих краев.

б) Определим предельное значение гибкости:

Так как λ>λ_пред , то критическую силу определим по формуле Эйлера:

в) Определим коэффициент запаса устойчивости:

3.2 Расчет на устойчивость по коэффициентам уменьшения основного допускаемого напряжения

В случае стержней с большой гибкостью опасным состоянием следует считать момент возникновения в сжатом стержне напряжения равного σ_кр. В этом случае условие устойчивости можно записать:

σ_кр≤[σ]_{у ,}

где [σ]_у - допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое по формуле:

.

где n_у - коэффициент запаса устойчивости.

Введем обозначение. Соответственно, допускаемое напряжение на устойчивость:

[σ]_у = φ×[σ]_с,

где φ - коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие;

[σ]_с – допускаемое напряжение на осевое сжатие стержня.

Коэффициент φ определяет степень снижения допускаемого напряжения при подольном изгибе. Поскольку коэффициент зависит от критического напряжения, то очевидно, что он зависит от гибкости стержня и механических характеристик материала. Следовательно, расчет на устойчивость сжатых стержней можно выполнять по форме как расчет на осевое сжатие, введя пониженное допускаемое напряжение [σ]_у.

Условие устойчивости можно записать:

Значения коэффициентов φ для продольного изгиба центрально сжатых стержней из сталей приведены в таблице 10.3.

Таблица 10.3

Гибкость, λ	Коэффициенты φ для сталей с допускаемым напряжением на сжатие [σ]с, МПа
	0,988	0,987
	0,967	0,962
	0,939	0,931
	0,906	0,894
	0,869	0,852
	0,827	0,805
	0,782	0,754
	0,734	0,686
	0,665	0,612
	0,599	0,542
	0,537	0,478
	0,479	0,419
	0,425	0,364
	0,376	0,315
	0,328	0,276
	0,290	0,244
	0,259	0,218
	0,233	0,196
	0,210	0,177
	0,191	0,161
	0,174	0,147
	0,16	0,135

Подчеркнем, что хотя расчет по форме это расчет на сжатие, но по существу это расчет на устойчивость, обеспечивающий работу стержня с коэффициентом запаса устойчивости. Раличают два вида расчета на устойчивость: проверочный и пректировочный.

1) Проверочный расчет.

Если задана сжимающая сила, а также геометрические характеристики стержня то проверка прочности на устойчивость каких либо затруднений не вызывает. Прежде всего, определяем наименьший осевой момент инерции I_min, площадь сечения F и мининимальный радиус инерции:

,

а также гибкость:

Затем, зная гибкость, находим по таблице коэффициент φ и проверяем условие устойчивости:

2) Проектировочный расчет.

Более сложной задачей оказывается подбор сечения при заданной длине и сжимающей силе. Дело в том, что коэффициент φ зависит от гибкости стержня λ, а гибкость неизвестна, поскольку неизвестно сечениеение. В таком случае расчет выполняют методом последовательных приближений. Исходим из условия устойчивости:

.

Из неравенства определяем потребную площадь сечения:

Кроме искомой площади в последнем соотношении неизвестным является также коэффициент φ. Поэтому при подборе сечения приходится пользоваться методом последовательных приближеня величину коэффициента φ. Обычно на первом шаге принимаем φ₁ =0,5‑0,6. При принятом φ₁ определяем F и подбираем конфигурацию сечения, для которого определяем I_min, i_min, и λ. Определяем новое значение φ₁´. Если φ₁´ зачительно оличается от φ₁, то расчет поворяют при. В результате второй итерации определяют φ₂´. Если требуется третья итерация расчет повторяют при. Обычно на практике удается обойтись двумя-тремя итерациями.

Пример 10.15

В стержне фермы возникает сжимающая сила P = 352 кН. Поперечное сечение стержня состоит из двух равнополочных уголков, расположенных тавром и соединенных между собой таким образом, что их совместная работа, как единого стержня, обеспечена. Материал стержня сталь Ст.3 (E =2,1×10⁵ МПа, [σ]_с =160 МПа, [σ]_пц =220 МПа), длина стержня l =5,31 м, концы стержня считать закрепленными шарнирно.

Подобрать размеры поперечного сечения стержня. Определить коэффициент запаса устойчивости стержня при принятых размерах поперечного сечения.

Решение.

Расчет ведем по коэффициентам продольного изгиба:

1. Первое приближение. Примем φ₁ =0,6.

Требуемая площадь сечения одного уголка:

F₁ = F /2 = 1,84×10^-3 м²

По ГОСТ 8509-72 уголок 100×100×10 имеет F₁ = 1,92×10^-3 м². Минимальный радиус инерции сечения i_min = i_x = 3,05×10^-2 м (очевидно, что для принятого сечения I_x < I_y).

Гибкость стержня:

, здесь μ=1, так как стержень шарнирно оперт.

По таблице 10.3 определим φ:

Значение значительно отличается от предварительно принятого φ.

2. Второе приближение.

Уголок 125×125×12-по ГОСТ 8509-72 имеет F =2,89×10^-3 м², i_min = i_x = 3,82×10^-2 м

Определим гибкость стержня:

.

По таблице 10.3 - φ₂ ≈0,376.

Определим действующее напряжение сжатия:

Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости:

[σ]_у = φ₂×[σ]_с =0,376×160=60,2 МПа,

Следовательно, стержень будет перегружен на 1,16%. Такая перегрузка нежелательна, поэтому рассмотрим еще один вариант. Примем уголок с меньшей площадью сечения, но с большим радиусом инерции, что приведет к уменьшению гибкости, а, следовательно, к повышению φ и [σ]у.

3. Третье приближение.

Примем уголок 140×140×9 с F =2,47×10^-3 м², i_min = i_x = 4,34×10^-2 м;

Определим действующее напряжение сжатия:

,

По таблице 10.3 - φ₂ ≈0,468

Определим допускаемое напряжение по условиям устойчивости:

[σ]_у = φ₂×[σ]_с =0,468×160=74,9 МПа.

Стержень будет недогружен на 5 %.

4. Определим коэффициент запаса устойчивости при принятых размерах сечения.

Определим предельное значение гибкости:

Так как λ ≥ λ_пред, то для определения критических напряжений применим формулу Эйлера:

Определим запас устойчивости:

Пример 9.1

Конструкция цилиндрического гермофюзеляжа самолета, представляющая собой тонкостенную оболочку подкрепленную продольным (стрингера) и поперечным (шпангоуты) набором, изготовлена из алюминиевого сплава Д-16 с пределом текучести σ_тр = 26 кг/мм² и μ =0,3. Определить коэффициент запаса по условиям текучести n_т для пяти критериям текучести при следующих условиях нагружения:

а) эксплуатационный изгибающий момент вызывает продольные растягивающие нормальные напряжения в верхних точках фюзеляжа равными σ_x =20 кг/мм²;

б) одновременно с эксплуатационным изгибающим моментом в гермофюзеляжа создается избыточное давление Δp = 0,6 кг/cм², которое вызывает в обшивке продольные σ_x = 4 кг/мм² и кольцевые напряжения σ_t = 8 кг/мм²;

в) дополнительно к условиям нагружения приведенным в п. б) на фюзеляж при выполнении маневра действует крутящий момент, который вызывает касательные напряжения в обшивке τ_xt = 8 кг/мм².

Решение.

Условие а).

В данном случае реализовывается одноосное напряженное состояние (рис. 9.6), для которого для всех критериев текучести эквивалентные напряжения равны:

σ_экв = σ_x

Рисунок 9.7

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_x = 26/20 = 1,3

Условие б).

При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 9.8).

Рисунок 9.8

В продольном направлении действует сумма напряжений от изгибающего момента и от избыточного давления σ_x =20+4 = 24 кг/мм². На внутреннюю поверхность обшивки действует избыточное давление Δp = 0,6 кг/cм², которое вызывает в поверхностных слоях в радиальном направлении нормальное напряжение сжатия σ_r = - 0,006 кг/мм²

Действующие напряжения являются главными напряжениями: σ₁ = σ_x = 24 кг/мм², σ₂=σ_t = 8 кг/мм², σ₃ = σ_r =0,006 кг/мм².

1. По критерию максимальных главных напряжений:

t

σ_экв = σ_x

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_x = 26/24 = 1,08

2. По критерию максимальной главной деформации:

σ_экв = σ_x-μ(σ_t + σ_r) = 24-0,3´(20-0,006) ≈18 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/18 = 1,4

3. По критерию суммарной энергии деформации:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,2 = 0,99

4. По критерию максимальных касательных напряжений:

σ_экв=σ_x – σ_r = 26+0,006 =26 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26 = 1

5. По критерию энергии деформации сдвига:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,5 = 0,98

Условие в).

При заданном случае нагружения на внутренней поверхности обшивки гермофюзеляжа реализовывается трехосное напряженное состояние (рис. 9.9).

Рисунок 9.9

Дополнительно к напряжениям предыдущего нагружения, приведенному в п. б), действует касательное напряжение τ_xt = 8 кг/мм².

Определим главные напряжения:

,

σ₃ = 0,006 кг/мм².

По критерию максимальных главных напряжений:

t

σ_экв = σ₁=26,5 кг/мм²

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,5 = 0,98

2. По критерию максимальной главной деформации:

σ_экв = σ₁-μ(σ₂ + σ₃) = 26,5-0,3´(17,5-0,006) = 21,25 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/21,25 = 1,2

3. По критерию суммарной энергии деформации:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/27= 0,96

4. По критерию максимальных касательных напряжений:

σ_экв=σ₁ – σ₃ = 26,5+0,006 =26,506 кг/мм².

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/26,506 = 0,98

4. По критерию энергии деформации сдвига:

Следовательно, коэффициент запаса по условиям текучести:

n_т = σ_тр/ σ_экв = 26/23,3 = 1,1