double arrow

Расчет на прочность при изгибе. Из рассмотрения распределений нормальных и касательных напряжений поперечном в сечении балки при ее поперечном изгибе (рис


Из рассмотрения распределений нормальных и касательных напряжений поперечном в сечении балки при ее поперечном изгибе (рис. 10.12) можно заметить, что максимальные нормальные напряжения σmax возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, в то время как, наибольшие касательные напряжения τmax возникают в точках сечения лежащих на нейтральной оси, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Рисунок 10.12

Кроме того, численный анализ показывает, что величина σmax существенно больше τmax для балок со сплошным сечением, у которых отношение длины l к высоте сечения h больше 5, т.е. l/h ≥5. Это позволяет в большинстве случаев пренебречь действием касательных напряжений и при расчете на прочность учитывать только действие нормальных напряжений.

Принимают, что разрушение балки наступит при достижении максимального нормального напряжения σmax предельного значения σпред характерного для данного материала.

Условие разрушения имеет вид:

Наибольшее действующее нормальное напряжение определяют для слоя наиболее удаленного от нейтральной оси по формуле:

, где:




Mzс- изгибающий момент,

Wzс – момент сопротивления изгибу.

В качестве предельного напряжения принимают:

Условие разрушения записывают как для точек сечения подвергнутых действию максимальных растягивающих напряжений, так и для точек в которых возникают максимальные сжимающие напряжения.

При проектировочном расчете записывают условие прочности:

, где

[σ] - допускаемое значение нормальных напряжений.

Если ввести коэффициент запаса прочности ns ,то допускаемое напряжение:

Такие материалы как древесина имеют малое сопротивление межслойному сдвигу и для достаточно коротких балок касательные напряжения могут оказаться более опасные, чем нормальные. Учет касательных напряжений может также оказаться необходимым при расчете элементов конструкции из пластиков, армированных высокопрочным волокном.

Условие прочности по сдвигу имеет вид:

.

Максимальное касательное напряжение определяют для слоя расположенного на нейтральной оси по формуле Журавского:

, где

Qy- перерезывающая сила,

S max- максимальный статический момент части сечения до нейтральной оси;

Izс- осевой момент инерции сечения,

b- ширина сечения по нейтральной оси.

Допускное напряжение [τ] определяют:

, где

nτ - запас прочности по сдвигу.

Предельное касательное напряжение:

Пример 10.7

Подобрать двутавровое сечение балки (рис. 10.13) при допускаемых напряжениях [σ]=140 МПа и [τ]=70 МПа, если изгибающий момент Mz =40 кНм, и поперечная сила Qy=6 кН. При подборе принять: высоту стенки h= 1,5b, толщину стенки tст=0,02 b, толщину полки tп=0,1 b.



Рисунок 10.13

Решение.

Определим размер b из условия прочности по нормальным напряжениям:

Момент инерции сечения Izc относительно главной центральной оси zc :

Момент сопротивления сечения Wzc:

Подставим в условие прочности:

, откуда

b≥0,126 м

Запишем условие прочности по сдвигу:

Вычислим максимальный статический момент:

Подставим в условие прочности:

, откуда

b≥0,0775 м

Выбираем наибольшее значение b=0,126 м.

Пример 10.8

Определить избытки прочности сечения крыла самолета (рис. 10.14) нагруженного изгибающими моментами Mz = 150 кНм , My = 35 кНм. Считать, что изгибающие моменты воспринимаются поясами лонжеронов, стрингерами и прилегающими эффективными частями обшивки и стенок лонжеронов, площади поперечных сечений и координаты которых приведены в таблице 10.1. Допускаемые напряжения на растяжение [σ]р=300 МПа, а на сжатие [σ]сж=-350 МПа.

Рисунок 10.14

Решение.

1. Расчетное сечение представим в виде площадей сосредоточенных в центрах тяжести поясов лонжеронов, стрингеров и прилегающих эффективных частей обшивки и стенок лонжеронов, каждое из которых характеризуется площадью Fi, которая складывается из площади стрингера (пояса лонжерона) Fстр i и эффективной площади обшивки (стенки лонжерона) Fобш i . Также зададим координаты центров тяжести стрингеров (поясов лонжеронов) zi и yi в выбранной системе координат “z-y” (рис. 10.15).



Рисунок 10.15

Геометрические характеристики представлены в таблице 10.1.

В таблице также приведены результаты расчетов осевых моментов инерции Iz, Iy и центробежного момента Izy.

Таблица 10.1

Fi, мм2 yi, мм zi, мм Fi yi мм3 Fi yi2 мм4 Fi zi мм3 Fi zi2 мм4 Fiziyi мм4
-3 -1260 -176400
-213 -104370 -94663590
-216 -30240 -21349440
-216 -30240 -17357760
-211 -29540 -12524960
-203 -28420 -7872340
-191 -26740 -3797080
-165 -3 -74250 -1350
S     -71700 1,151E+09 -60403080

2. Определим положение центра тяжести, используя данные таблицы 10,1.

3. Из таблицы осевые моменты инерции относительно заданных осей z, y:

Iz=0,9771558×10-4 м4,

Iy= 1,151×10-3 м4.

Центробежный момент инерции относительно осей z и y:

Iyz= -0,6040308×10-4 м4.

4. Используя формулы для параллельного переноса осей, определим центральные моменты инерции сечения Izc, Iyc, Iyc zc:

Izc = Iz - yc2 ´F = 0,9771558×10-4-(-0,0198)2´0,362´10-2= 9,630´10-5 м4,

Iyc = Iy - zc2 ´F=1,151×10-3–(0,4426)2 ´0,362´10-2 = 4,421´10-4 м4,

Iyczc=Izy-zc´yc´F=-0,6040308×10-4 (0,4426´(-0,0198)´ 0,362´10-2)= м4.

5. Напряжение в любой точке сечения определим по формуле:

, где

k1= Izcyc/(IzcIyc-Izcyc2)

k2= Iyc/(IzcIyc-Izcyc2)

k3= Izc/(IzcIyc-Izcyc2).

Вычислим коэффициенты k1, k2, k3:

k1= -2,867´10-5/(9,630´10-5´4,421´10-4–(-2,867´10-5)2)=-2,867´10-5/4,175´10-8= ‑6,867´102 м-4

k2= 4,421´10-4/4,175´10-8=1,059´104 м-4

k3= 9,630´10-5/ 4,175´10-8 =2,306´103 м-4

После подстановки и преобразования получим соотношение для определения изгибных напряжений:

s=-((2,306´103´35´10-3-(‑6,867´102)´150´10-3) (z-zc)-((1,059´104)´150´10-3-(‑6,867´102)´35´10-3) (y-yc) )= -183,7 (z-zc)-1612(y-yc)МПа

Используя полученную зависимость, вычислим напряжения в элементах. Результаты вычислений приведены в таблице 10.2. В этой же таблице приведены избытки прочности, которые определены используя соотношение:

Таблица 10.2

yi, м zi, м yi-yc, м zi-zc, м σ Мпа ησ
-3 1,60E-01 -4,456E-01 -175,8 1,99
1,70E-01 -2,986E-01 -218,9 1,60
1,69E-01 -1,586E-01 -243,0 1,44
1,61E-01 -1,459E-02 -256,6 1,36
1,48E-01 1,264E-01 -261,5 1,34
1,32E-01 2,684E-01 -261,8 1,34
1,10E-01 4,644E-01 -262,4 1,34
-213 -1,93E-01 4,644E-01 226,2 1,46
-216 -1,96E-01 2,634E-01 267,9 1,23
-216 -1,96E-01 1,314E-01 292,2 1,13
-211 -1,91E-01 -1,859E-02 311,7 1,06
-203 -1,83E-01 -1,656E-01 325,8 1,01
-191 -1,71E-01 -3,006E-01 331,3 1,00
-165 -3 -1,45E-01 -4,456E-01 316,0 1,04






Сейчас читают про: