Примеры вычисления определителей мы с вами подробно разбирали на занятии

2 3 4 5 6 7 8

1.Вычислить определитель

2. Обратная матрица. Обратной матрицей A^-1 к матрице A называется такая матрица, что:

, Где E – единичная матрица. Рассмотрим квадратную матрицу

. Обратную матрицу

можно найти по следующей формуле:

, где

– определитель матрицы

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы

. Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д. Пример: Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам. 1) Сначала находим определитель матрицы.

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ. В рассматриваемом примере, как выяснилось,

, а значит, всё в порядке. 2) Находим матрицу миноров

. Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица

, то есть в данном случае

. Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек. Возвращаемся к нашей матрице

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы

. 3) Находим матрицу алгебраических дополнений

. Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы

. 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы

. 5) Ответ. Вспоминаем нашу формулу

Таким образом, обратная матрица:

Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение

либо

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах). Таким образом, обратная матрица найдена правильно. Если провести действие

, то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно.

1.7. Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу

. Выберем в матрице А произвольно k строк с номерами i₁, i₂, …, i_k и k столбцов с номерами j₁, j₂,..., j_k,

. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу А_k порядка k. Определитель матрицы А_k называется минором k-гo порядка (минором порядка k) и обозначается

или, когда не важно, какие именно строки и столбцы выбраны, обозначается M_k, т.е. по определению M_k = det А_k. Например, если

и выбраны строки c номерами i₁ = 1, i₂= 3 и столбцы с номерами j₁ = 2, j₂ = 4, то

Число миноров второго порядка для этой матрицы равно 18. Наивысший порядок миноров, не равных нулю, называется рангом матрицы и обозначается символами: rаng А или r_A. Из этого определения легко получить следующее правило для нахождения ранга матрицы: если найден минор порядка r не равный нулю и любой минор порядка r + 1 равен нулю, то ранг матрицы А равен r. Пример 1.2. Найти ранг матрицы:

. Решение. Здесь

, следовательно rаng А = 2. Вычисление ранга матрицы по определению приводит к очень громоздким и длительным вычислениям, поэтому чаще всего он вычисляется с помощью элементарных преобразований матрицы. Элементарные преобразования матрицы: 1) перестановка (транспозиция) строк (столбцов) матрицы; 2) умножение всех элементов отроки (столбца) матрицы на действительное число

; 3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на действительное число. Утверждение 1.4. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Ввиду небольшого количества занятий и весьма нашей обширной программы курса следующая тема 4(Множества) предлагается для самостоятельного изучения.

Тема. 4. Множества.

Опр.1. Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Опр.2.1.2 Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква К – элемент множества бук в русского алфавита).

Обозначают множества заглавными буквами латинского алфавита или символически с помощью фигурных скобок, в которых указываются его элементы. Сами элементы некоторого множества будем обозначать малыми латинскими буквами, если они не имеют специальных обозначений:

А; {а, b, c}; {*,s,h,g}; N={1,2,3,4,5,6,7,8, …}.

Принадлежность предмета некоторому множеству обозначают с помощью символа Î (в противном случае используется символ Ï).

Запись аÎА означает, что а есть элемент множества А. Аналогично имеем: DÎ{,D,o}.

Запись 4Ï{1,2,3} означает, что 4 не принадлежит множеству {1,2,3}.

Основными способами задания множества являются:

1) перечисление всех его элементов: А={а₁, а₂, а₃, …, а_n};

2) описание (указание характеристического свойства его элементов). Этот способ требует указания такого признака, который имеется у всех элементов данного множества и не свойственен элементам, не входящим в данное множество. Например, характеристическим свойством натуральных чисел является возможность их использования при счете каких-либо предметов. Говоря о множестве четных чисел, мы указываем характеристическое свойство его элементов:
М={хÎN ½хM2}, т.е. каждое число, принадлежащее этому множеству, делится на два.

Опр.2.1.3 Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Пишут А=В.

Опр.2.1.4 Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.