Теорема Ферма о нуле производной

Дифференцирование функций, заданных неявно

Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Дифференциалы высших порядков

dx= D x=x - x ₀, dy=f¢ (x ₀) dx, x -независимое переменное.

Определение. d ² f = f¢¢ dx², dx=Dx,

d ⁿf=d(d ^{n-1 f})=d(f ^(n-1)dx^n-1)=f ⁽ⁿ⁾dxⁿ.

При вычислении последующих дифференциалов приращение dx=Dx берется одно и то же.

Из определения следует, что

, что согласуется с обозначением Лейбница для производной.

Замечание. Если x – независимое переменное, то dⁿ x = 0, при n= 2,3,…

Простейшие свойства дифференциалов

1) d(u+v)=du+dv, d(uv)=udv+vdu,

2) dⁿ(cu)=c dⁿ u, c= const.

3) dⁿ(u+v)=dⁿ u+ dⁿ v.

4) d ⁰ u=u, d ⁰ v=v.

Пусть задана сложная функция y=F (t) =f (g (t)), y=f (x), x=g (t).

dy= (f (g (t)) ¢ dt=f¢ (x) g¢ (t) dt=f¢ (x) dg=f¢ (x) dx. Вид первого дифференциала такой же, как если бы x являлось независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.

Для дифференциалов высших порядков свойства инвариантности, вообще говоря, нет.

dy=f¢dx, d ² y=f¢¢dx ² +f¢d ² x, например, для функции x=t ², второй дифференциал d ² x ¹ 0.

Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

d ⁿy, y=f(x), x=at+b, dx = a dt, d ²x=…=d ⁿx=0. Таким образом,

n- ый дифференциал d ⁿf=f⁽ⁿ⁾dxⁿ имеет такой же вид, как и в случае независимого переменного x.

Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением

F (x,y) = 0

и пусть y=f (x)однозначная ветвь этой функции с областью определения X.

Для вычисления дифференциала dy (x ₀)функциидостаточно продифференцировать равенство. В результате такого дифференцирования получится соотношение вида

A (x,y) dx+B (x,y) dy= 0,

где A (x,y), B (x,y)будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y. Из последнего соотношения можно найти выражение для dy в нужной точке.

Пример 1: x²+y²= 1, найти d ² y.

2 xdx+ 2 ydy= 0, dy= dx. Для нахождения второго дифференциала следует использовать равенство xdx+ydy= 0, дифференцируя которое, получим

dxdx+xd ² x+dydy+yd²y= 0или dx ² +dy ² + yd ² y= 0, откуда получаем d ² y=.

4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теормы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Теорема. Если f (x) – определена на (a,b) и дифференцируема в точке x ₀Î(a,b), принимает в точке x ₀ наибольшее или наименьшее значение, то f¢ (x ₀)=0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f¢ (x ₀+0) = ³ 0, f¢ (x ₀-0) = £ 0откуда следует, что f¢ (x ₀)=0.

Геометрическая интерпретация. Во внутренних точках, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение, касательная к графику функции будет горизонтальна.

Рис. 4.13