Формула Лейбница

Вычисление производных функций, заданных неявно

Производные высших порядков

Определение. Пусть f (x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x ₀Î(a,b) производную g (x) =f¢ (x). Если в точке x ₀ существует g¢ (x ₀), то она называется производной второго порядка от f в точке x ₀ и обозначается f¢¢ (x ₀). Производной n-го порядка называется производная от производной (n -1) - го порядка

Обозначение Лейбница

Отметим, что для существования n -ой производной в точке, предыдущая (n -1) - я производная должна существовать в некоторой окрестности.

Аналогично определяются односторонние производные старших порядков.

Функция f называется n-раз дифференцируемой на X, если в каждой точке X существует n-ая производная.

f называется n-раз непрерывно дифференцируемой на X, если n-ая производная на X существует и непрерывна на X.

Классы C (X), C [ a,b ], Cⁿ (X), Cⁿ [ a,b ].

Cⁿ (X) – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на X функций.

Cⁿ [ a,b ] – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на [ a,b ] функций. C (X) -множество всех непрерывных на X функций.

C [ a,b ] -множество всех непрерывных на [ a,b ] функций.

Пример. Вычисление второй производной функции, заданной параметрически

, x (t) строго монотонна,

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Пример. Вычислить для функции

Обозначим через F (x,y)некоторое выражение, содержащее параметры x, y. Говорят, что задана функция двух переменных. Функцией, заданной неявно уравнением

F (x,y) = 0(1)

называется любая функция y=f (x)с областью определения X, при подстановке которой в левую часть (1),это равенство превращается в тождество:

" x Î X: F (x, f (x))=0.

Такие функцииназывается также однозначными ветвями неявно заданной функции.

Для вычисления производной y¢ (x)функции, заданной неявно уравнением (1)достаточно продифференцировать тождество F (x, f (x))=0по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида

A (x,y) +B (x,y) y¢= 0, (2)

где A (x,y), B (x,y)будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y. Из равенства (2)можно найти выражение для y¢ в нужной точке.

Пример 1: x²+y²= 1, найти.

2 x+ 2 yy¢= 0, y¢=. Для нахождения второй производной следует использовать равенство x+yy¢= 0, дифференцируя которое, получим 1 + (y¢)² +yy¢¢= 0, откуда следует y¢¢=

Пример 2: x^y+e^xy= 0.

под «нулевыми» производными подразумеваются сами функции.

Индукция по n. Для n= 1формула верна (fg) ¢=fg¢+gf¢. Предположим, что формула доказана для n. Вычислим (n+ 1)-юпроизводную

.

Пример: найти f ⁽¹⁰⁰⁾(x)для функции f (x) = x ² e^x.