Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Другие формы остатка в формуле Тейлора

Лемма. Если

Остаток в форме Пеано

Теорема 1. Если у функции f (x) существует f ⁽ⁿ⁾(x ₀), то имеет место равенство

.

Другими словами

(6)

Доказательство. Для краткости будем обозначать R (x) =R_n (x), тогда можно выписать следующие равенства для последующего использования по правилу Лопиталя

(1₀)

(1₁)

…

(1_m)

…

(1_n-1)

Как уже отмечалось (формула (3))

По правилу Лопиталя

Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n–ю производную в точке x ₀ и

, то

, (2)

то b_k= 0, k= 0,1, …,n.

Доказательство. В формуле (2)перейдем к пределу при x® x ₀, получим b ₀ = 0,

, делим полученное выражение на (x-x ₀) и переходим к пределу при x® x ₀ и т.д.

Доказательство теоремы.

откуда и следует утверждение.

Пусть функция f (x) (n+ 1) – раз дифференцируема в окрестности U_a (x ₀) = (x ₀ -a,x ₀ +a) и y(x) дифференцируема в, y ¢ ¹0 в, y(x) непрерывна в.

Возьмем x Î(x ₀ -a,x ₀ +a), x ¹ x ₀ и фиксируем. Для определенности будем считать x ₀ <x и рассмотрим на [ x ₀, x ]функцию

Отметим следующие свойства этой функции

1) j(x) = 0.

2) j(x ₀) =R_n (x).

3) j(z) непрерывна на [ x ₀ ,x ], дифференцируема на (x ₀ ,x).

4)

Не очевидным является только четвертое свойство

=

= = =.

К функциям j и y применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [ x ₀, x ]

. Откуда и, далее,

(1)

Следствие 1. Если функция f является (n+ 1) -раз дифференцируемой на (x ₀ -a, x ₀ +a), то

,

где xÎ(x ₀ ,x) (или (x,x ₀)) ,p >0. Полученный остаток называется остатком в форме Шлемильха-Роша.

Для доказательства этой формулы в качестве функцииy(z) нужно взять y(z) = (x - z) ^p.

Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f является (n+ 1 )–раз дифференцируемой на (x ₀ -a, x ₀ +a), то

.

Этот остаток получен из общей формулы при p=n +1.

Замечание. Формулу Тейлора с остатком Лагранжа можно представить в виде

.

Следствие 3. Если f (n+ 1) –раз дифференцируема на (x ₀ - a, x ₀ +a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши

Этот остаток получен из общей формулы при p= 1.

1) Экспонента e^x, x ₀=0

,xÎ(0 ,x), если x> 0 или xÎ(x,0)в случае

x < 0. Например, при |x|< 1, |R_n(x)|£

2) sin x, x ₀=0

Вспомогательная формула:

=, x® 0,

выберем m= 2 n+ 2, тогда

sin x =, x® 0,

откуда, с учетом равенства f ^{(2 n+ 2)}(0)=0, получаем разложение для синуса

sin x =, x® 0.

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

, xÎ(0 ,x) (или

xÎ(x, 0)). Действительно,

= = Откуда следует, что

1) cos x, x ₀=0.

Вспомогательная формула:

.

.

=, x® 0,

выберем m= 2 n+ 1, тогда

, x® 0,

откуда, с учетом равенства f ^{(2 n +1)}(0)=0, получаем разложение для косинуса

cos x =, x® 0.

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

cos x =, xÎ(0, x) (или xÎ(x,0)). Действительно,

= =.

Откуда следует, что

2) ln(1 +x), x ₀=0.

, x® 0.

3) (1 +x) ^a, x ₀=0 , интерес представляет случай, когдаaне является натуральным числом.

f¢= a(1 +x)^{a- 1} ,…,f ^(k)=a(a - 1)… ( a - k +1)(1 +x)^{a - k}.

, x® 0

Важный частный случай

=.

6)sh x, x ₀=0.

7)ch x, x ₀=0.

Пример 1.

Пример 2.

.

Пример 3. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x⁵ включительно.

. Для решения задачи возьмем разложения функции

,

+ x⁴+ x⁵+o (x⁵)=

=1+2 x+x ² x ³ x ⁴ x ⁵ +o (x ⁵).

Пример 4. Разложить функцию f (x) = 1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x⁵ включительно. Представим функцию в виде

= 1 +u+u ² +u ³ +o (u ³),

где u =. Тогда

= 1 +u+u ² +u ³ +o (u ³) = 1 + + + +. При вычислении степеней нас интересуют только слагаемые степеней не выше x⁵, более высокие степени войдут в o (x⁵). Таким образом, =, =, =. Выражение = показывает, что в разложении = 1 +u+u ² +u ³ +o (u ³)можно, с самого начала, ограничится второй степенью

= 1 +u+u ² +o (x ⁵). Подставляя нужные выражения в это равенство, получим =1 + + + =1 +

Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) = tg x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x ⁶включительно.

tg x= = =

x+x ²(0) +x ³ +x ⁴(0) +x ⁵ +x ⁶(0)+o(x ⁶) =

=.

Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1 +x)^a - (1 - x)^aпо формуле Тейлора с остатком Пеано.

k = 2 l+ 1,

Таким образом,

Следствие..

Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел

.

Имеем: =|x| = sign x +o ().

Пример 8. Разложить функцию f (x) = по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x ⁴включительно.

Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x ³включительно.

Положим u=x - x², тогда = = 1 +u+u ² +u ³ +o (u ³) = 1 + x - x ² + (x – x ²)² + (x – x ²)³ +o (x ³)=1 +x – x ³ +o (x ³). Далее,

= = 1+2 x (1 +x–x ³ +o (x ³))=1+2 x+ 2 x ²-2 x ⁴ +o (x ⁴).

Второй способ. Так как, то на первом шаге выделяем единицу:

=. Второе слагаемое представляем в виде Cxⁿg ₂(x)так, чтобы, после чего следует представить функцию g ₂ (x) в виде g ₂(x) = 1 +g ₃(x)и т.д. В нашем случае:

= = = =

= = 1 + 2 x+

+ =

=1+2 x+ 2 x ² = 1+2 x+ 2 x ²-2 x ⁴ +o (x ⁴).