Дифференциал функции

Глава 4 Дифференциальное исчисление

4.1 Производная

Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.

4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости

Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀.

Терминология

D x=x - x ₀ – приращение аргумента.

D y= D f =f (x) - f (x ₀) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x ₀ определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f¢ (x ₀) = =.

Обозначения для производной

Лейбниц, f¢ (x ₀) Лагранж, (x) Ньютон, Df (x ₀) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f¢ (x ₀+0), f¢ (x ₀-0).

f¢ (x ₀+0) =, f¢ (x ₀ - 0) =.

Теорема. Для существования производной f¢ (x ₀) необходимо и достаточно существования обеих односторонних производных f¢ (x ₀+0), f¢ (x ₀ - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.

Если f¢ существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f¢ (x), которая называется производной функцией.

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x ₀ называется дифференцируемой в точке x ₀, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

D f = f (x) - f (x ₀) = A (x - x ₀) +o (x – x ₀), x®x ₀

Теорема. Для существования f¢ (x ₀) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x ₀.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

$ A Û.

Замечание. Отметим, что A= f¢ (x ₀).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки графика, при x® x ₀называется касательной к графику функции f (x)в точке x ₀.

a = arctg = arctg f¢ (x ₀).

Рис. 4.1

Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство,

. Тангенс угла наклона касательной к графику функции f (x)в точке x ₀равен,. Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x ₀:.

Рис. 4.2

Последнее равенство можно сравнить с определением дифференцируемости в точке.

Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна:. Уравнение нормали в общем случае:.

Теорема (Необходимое условие дифференцируемости) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв производной в нуле.

Главная линейная часть приращения функции A D x в определении дифференцируемости функции

D f=f (x) - f (x ₀) =A (x - x ₀) +o (x – x ₀), x®x ₀

называется дифференциалом функции f (x)в точке x ₀ и обозначается

df (x ₀) =f¢ (x ₀)D x= A D x.

Дифференциал зависит от точки x ₀и от приращения D x. На D x при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так чтов каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения D x.

Если в качестве функции рассмотреть f (x) =x, то получим dx= D x, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Рис. 4.3