Математическая статистика

Математической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями.

Для решения задач статистики необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка (выборочная совокупность) – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объёмом выборки называют число объектов этой выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х₁, наблюдалось п₁ раз, х₂ - п₂ раз и т.д. х_k – п_{k ,} причем ∑ п_k=п - объем выборки. Тогда, наблюдаемые значения х₁, х_2, …, х_k называют вариантами, а п_1, п_{2, …,} п_k – частотами.

Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты. p_i=n_i/n,

Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом:

Если расположить варианты в возрастающей последовательности, то получим дискретный вариационный ряд. В случае группировки вариант по интервалам получим интервальный вариационный ряд.

Пример 1. При проведении 20 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1, 1, 4, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 1. Составим вариационный и статистический ряд.

Вариационный ряд: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Статистический ряд для абсолютных и относительных частот имеет вид:

В таблице значения x_i называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке (вся строка x_i) называется вариационным рядом. Число наблюдений n_i называют частотами.

В таблице сумма всех значений частот n_i, записанных во второй строке, равна объёму выборке, что записывается в виде:

, где: n – это объём выборки, k – количество вариант.

Отсюда можно найти относительную частоту p_i=n_i/n, наблюдаемого значения x_i – варианты.

Табличные данные могут быть представлены графически в виде полигона или гистограммы. Если выборка задана в виде отдельных точек, тогда строят полигон частот.

Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (x_i; n_i). где x_i откладываются на оси абсцисс, а n_i – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (n_i), а относительные (p_i) частоты, то получим полигон относительных частот

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы x_i, их высоты равны р_i =n_i/n (плотности относительной частоты).