I. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:
В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочное среднее равно:
II. Выборочной дисперсиейD(x) называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения
Рассеяние значений количественного признака X в выборке вокруг своего среднего значения характеризует выборочная дисперсия. В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная дисперсия равна
III. Средним квадратичным отклонением называют корень квадратный из дисперсии:
IV. Модой Мо называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Например, для вариационного ряда, приведённого в таблице, мода равна Мo =5, так как частота у этой варианты максимальная и равна 25.
варианта | ||||||
частота |
V. Медианой Мe называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечётно, то берётся средняя варианта, т.е. n=2k+1, то Me=xk+1; при четном n=2k в качестве медианы обычно принимают
|
|
Например для вариационного ряда, приведённого в таблице, медиана равна Мe =7, так как эта варианта делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Справа и слева относительно варианты с числом 7 по три варианты.
варианта | |||||||
частота |
Например для вариационного ряда, приведённого в таблице 11, медиана равна Мe =(5+7)/2=6, так как эти две варианты (5,7) делят вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Справа и слева относительно этих вариант по две варианты.
VI. Размахом варьирования R называется разность между максимальным и минимальным значениями признака: R=xmax - xmin
VII. Коэффициент вариации v есть отношение среднего квадратичного отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах:
Пример 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения 13.
Таблица 13
i | ||||
xi | ||||
ni |
Найти выборочное математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану для распределения, заданного таблицей 13.
Решение.
1) Выборочная средняя вычисляется по формуле
2) Выборочная дисперсия D вычисляется по формуле
В задачах выборочная совокупность может быть задана таблицей распределения с относительной частотой. В данном примере в таблице 13 последняя строка переписывается через относительную частоту pi=ni/n. В примере n =15. Выборочная дисперсия D вычисляется по данным таблицы 14.
|
|
Таблица 14
i | ||||
xi | ||||
pi | P1 =5/15 | P2 =5/15 | P3 =3/15 | P4 =2/15 |
Выборочная дисперсия Dв может быть вычислена как с использованием относительной частоты, так и абсолютной частоты.
3) Выборочное среднее квадратическое отклонение .
4) Мода равна МВ =1 и МВ =2, так как частоты у этих вариант максимальные и равны 5.
5) Медиана равна mВ =(2+3)/2=2,5, так как эти две варианты (2 и 3) делят вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Справа и слева относительно этих вариант по одной варианте.
Задание 1. Учитель в 8 классе, в котором учатся 26 учеников, провел тест, состоящий из 5 вопросов. Проверяя работы, учитель выписал по каждой работе число неправильных ответов: 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 2, 0, 3, 1. По предложенному алгоритму проведите первичную статистическую обработку данных.
1. Составьте:
· вариационный ряд.
· статистический ряд для абсолютных частот.
· статистический ряд для относительных частот.
2. Рассчитайте:
· выборочную среднюю,
· выборочную дисперсия D с использованием относительной частоты,
· выборочную дисперсия D с использованием абсолютной частоты,
· выборочное среднее квадратическое отклонение .
· моду М0,
· медиану Mе
· размах варьирования R
· коэффициент вариации v
3. Постройте:
· полигон частот
· полигон относительных частот
· гистограмму частот
Задание 1. Учитель в 8 классе, в котором учатся 26 учеников, провел тест, состоящий из 5 вопросов. Проверяя работы, учитель выписал по каждой работе число неправильных ответов: 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 2, 0, 3, 1. По предложенному алгоритму проведите первичную статистическую обработку данных.
1. Составьте:
· вариационный ряд. 0,1,2,3,4,5
· статистический ряд для абсолютных частот.
хi | ||||||
ni |
· статистический ряд для относительных частот.
хi | ||||||
pi |
2. Рассчитайте:
· выборочную среднюю, называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:
=
· выборочную дисперсия D с использованием относительной частоты, называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения
· выборочную дисперсия D с использованием абсолютной частоты,
· выборочное среднее квадратическое отклонение называют корень квадратный из дисперсии:
· моду М0, называют варианту, которая имеет наибольшую частоту
· медиану Mе называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечётно, то берётся средняя варианта, т.е. n=2k+1, то Me=xk+1; при четном n=2k в качестве медианы обычно принимают
· размах варьирования R называется разность между максимальным и минимальным значениями признака: R=xmax - xmin
· коэффициент вариации v есть отношение среднего квадратичного отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах:
3. Постройте:
· полигон частот
· полигон относительных частот
· можно ли построить гистограмму частот?
Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (xi; ni). где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (pi) частоты, то получим полигон относительных частот
Если выборка задана в виде интервалов, тогда строят гистограмму.
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы xi, их высоты равны рi =ni/n (плотности относительной частоты).