double arrow

Числовые характеристики статистического распределения

I. Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочное среднее равно:

II. Выборочной дисперсиейD(x) называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения

Рассеяние значений количественного признака X в выборке вокруг своего среднего значения характеризует выборочная дисперсия. В частном случае, когда выборка содержит по одному значению каждой варианты, выборочная дисперсия равна

III. Средним квадратичным отклонением называют корень квадратный из дисперсии:

IV. Модой Мо называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Например, для вариационного ряда, приведённого в таблице, мода равна Мo =5, так как частота у этой варианты максимальная и равна 25.

варианта            
частота            

V. Медианой Мe называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечётно, то берётся средняя варианта, т.е. n=2k+1, то Me=xk+1; при четном n=2k в качестве медианы обычно принимают

Например для вариационного ряда, приведённого в таблице, медиана равна Мe =7, так как эта варианта делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Справа и слева относительно варианты с числом 7 по три варианты.

варианта              
частота              

Например для вариационного ряда, приведённого в таблице 11, медиана равна Мe =(5+7)/2=6, так как эти две варианты (5,7) делят вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Справа и слева относительно этих вариант по две варианты.

VI. Размахом варьирования R называется разность между максимальным и минимальным значениями признака: R=xmax - xmin

VII. Коэффициент вариации v есть отношение среднего квадратичного отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах:

Пример 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения 13.

Таблица 13

i        
xi        
ni        

Найти выборочное математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду и медиану для распределения, заданного таблицей 13.

Решение.

1) Выборочная средняя вычисляется по формуле

2) Выборочная дисперсия D вычисляется по формуле

В задачах выборочная совокупность может быть задана таблицей распределения с относительной частотой. В данном примере в таблице 13 последняя строка переписывается через относительную частоту pi=ni/n. В примере n =15. Выборочная дисперсия D вычисляется по данным таблицы 14.

Таблица 14

i        
xi        
pi P1 =5/15 P2 =5/15 P3 =3/15 P4 =2/15

Выборочная дисперсия Dв может быть вычислена как с использованием относительной частоты, так и абсолютной частоты.

3) Выборочное среднее квадратическое отклонение .

4) Мода равна МВ =1 и МВ =2, так как частоты у этих вариант максимальные и равны 5.

5) Медиана равна mВ =(2+3)/2=2,5, так как эти две варианты (2 и 3) делят вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Справа и слева относительно этих вариант по одной варианте.

Задание 1. Учитель в 8 классе, в котором учатся 26 учеников, провел тест, состоящий из 5 вопросов. Проверяя работы, учитель выписал по каждой работе число неправильных ответов: 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 2, 0, 3, 1. По предложенному алгоритму проведите первичную статистическую обработку данных.

1. Составьте:

· вариационный ряд.

· статистический ряд для абсолютных частот.

· статистический ряд для относительных частот.

2. Рассчитайте:

· выборочную среднюю,

· выборочную дисперсия D с использованием относительной частоты,

· выборочную дисперсия D с использованием абсолютной частоты,

· выборочное среднее квадратическое отклонение .

· моду М0,

· медиану

· размах варьирования R

· коэффициент вариации v

3. Постройте:

· полигон частот

· полигон относительных частот

· гистограмму частот

Задание 1. Учитель в 8 классе, в котором учатся 26 учеников, провел тест, состоящий из 5 вопросов. Проверяя работы, учитель выписал по каждой работе число неправильных ответов: 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 4, 2, 0, 3, 1. По предложенному алгоритму проведите первичную статистическую обработку данных.

1. Составьте:

· вариационный ряд. 0,1,2,3,4,5

· статистический ряд для абсолютных частот.

хi            
ni            

· статистический ряд для относительных частот.

хi            
pi            

2. Рассчитайте:

· выборочную среднюю, называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке:

=

· выборочную дисперсия D с использованием относительной частоты, называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X от их среднего значения

· выборочную дисперсия D с использованием абсолютной частоты,

· выборочное среднее квадратическое отклонение называют корень квадратный из дисперсии:

· моду М0, называют варианту, которая имеет наибольшую частоту

· медиану называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечётно, то берётся средняя варианта, т.е. n=2k+1, то Me=xk+1; при четном n=2k в качестве медианы обычно принимают

· размах варьирования R называется разность между максимальным и минимальным значениями признака: R=xmax - xmin

· коэффициент вариации v есть отношение среднего квадратичного отклонения к среднему арифметическому выборки, выраженное в процентах:

3. Постройте:

· полигон частот

· полигон относительных частот

· можно ли построить гистограмму частот?

Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (xi; ni). где xi откладываются на оси абсцисс, а ni – на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (pi) частоты, то получим полигон относительных частот

Если выборка задана в виде интервалов, тогда строят гистограмму.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы xi, их высоты равны рi =ni/n (плотности относительной частоты).

 
 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: