Формула включений и исключений для двух множеств

По правилу суммы можно найти число элементов объединения двух непересекающихся множеств. Найти число элементов объединения двух пересекающихся множеств можно по формуле, сформулированной в следующей теореме.

Теорема. | A È B |=| A |+| B |-| A Ç B |.

Доказательство. Так как множества A B и B, а также A B и A Ç B не пересекаются, (A B)È B = A È B, (A B)È(A Ç B)= A, то по правилу суммы

| A È B |=| A B |+| B |,

| A |=| A B |+| A Ç B |.

Из первого равенства по частям вычтем второе, получим

| A È B |-| A |=| B |-| A Ç B |.