Производные и дифференциалы высших порядков. Определение. Второй производной функции называется производная ее первой производной

Определение. Второй производной функции называется производная ее первой производной .

Если физический смысл первой производной – есть скорость изменения функции, то вторая производная определяет скорость изменения скорости изменения функции, то есть ускорение.

Если первая производная дает возможность вычислить угол наклона касательной в некоторой точке кривой к оси , вторая производная дает информацию о кривизне кривой.

Следствие. и так далее.

Примеры.

1) Если , то и так далее.

2) Если , то и т.д.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков. Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала, т.к. , тогда

,

- бесконечно малое приращение, независящее от x, поэтому производная от него считается как от постоянной. Т.е.

.

Подобным образом получим .