Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Следует отличать минимумы и максимумы функций от наибольшего и наименьшего ее значений на заданном отрезке. Функция может не иметь экстремумов в исследуемой области, а наименьшее и наибольшее в этой области значения она имеет всегда.

Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, необходимо подсчитать значения функции в точках экстремума, входящих в исследуемую область, а также в граничных ее точках и выбрать среди них наименьшее и наибольшее значения.

Пример.

Определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим точки, в которых производная обращается в нуль

, получаем две точки, одна из которых не входит в исследуемую область, добавляем к ним граничные точки, тогда .

Определяем в этих точках значения функции .

Таким образом, наименьшее в заданной области значение функции реализуется при , наибольшее при .