Основные свойства

Правила дифференцирования.

Основные свойства производной и дифференциала.

Таблица производных и дифференциалов.

Функция	Производная	Дифференциал
Степенная функция
у = С = const	у'= (C)' = 0	d(C) = 0
у = x	у'= (x)' = 1	d(x) = 1· dx = dx
y = хp	у'=(хp)' = pхp-1	d(xp) = pхp-1dx
у = 1 / м x	у'= -1 / x²	d(1\х) = -1 · dx = -dx j x2 x2 x2
у=(kx+b)р	у'= kр(kx+b)рˉ¹	d((kx+b)р) = kр(kx+b)рˉ¹ dx
y=√x	у'= 1 / 2√х	d(√x) = dx h j 2√х
Показательная функция
y = ах	y'= ахℓnх	d(ах) = ахℓnх dx
y = ℮ˣ	y'= ℮ˣ	d(℮ˣ)=℮ˣdx
y = ℮-ˣ	y'= - ℮-ˣ	d(℮-ˣ)= -℮-ˣdx
y = ℮px	y'= p ℮px	d(℮px)= p ℮px dx
Логарифмическая функция
y=lnx	y'= 1 / x	d(lnx) = dx h x
y = logаx	y' = 1 \ x ln а	d(logаx) = dx \ x ln а
Тригонометрические функции
y = sin x	y'= cos x	d(sin x) = cosx dx
y = cos x	y'= -sin x	d(cos x) = -sinx dx
y = tg x	y' = 1 \ cos²x	d(tg x) = dx \ cos²x
y = ctg x	y'= -1 \ sin²x	d(ctg x) = - dx \ sin²x
Обратные тригонометрические функции
y = arcsinx	y'= 1 / √1-x²	d(arcsinx) = dx и √1-x²
y = arccosx	y'= - 1 / √1-x²	d(arccosx) = - dx / √1-x²
y = arctg x	y'= 1 / 1+x²	d(arctg x) == dx / 1+x²
y = arcctg x	y'= - 1 / 1+x²	d(arcctg x) == - dx / 1+x²
Гиперболические функции
y = sh x	y' = ch x	d(sh x) = ch x dx
y = ch x	y' = sh x	d(ch x) = sh x dx
y = th x	y' = 1 b ch2 x	d(th x) = dx b ch2 x
y = cth x	y' = -1 v sh2 x	d(cth x) = -dx v sh2 x
Обратные гиперболические функции
y = arcsh x	y' = 1 b √1 + x2	d(arcsh x) = dx b √1 + x2
y = arcch x	y' = 1 b √x2 - 1	d(arcch x) = dx b √x2 - 1
y = arcth x	y' = 1 k 1 – x2	d(arcth x) = dx k 1 – x2
y = arccth x	y' = 1 b x2 - 1	d(arccth x) = dx b x2 - 1

d dx

d dx

Прежде всего отметим возможные способы записи производной функции у = f(х):

у' ≡ f '(х) ≡ [f (x)] ' ≡ [ f(x)] (6)

Эта форма позволяет обходиться без введения у в качестве дополнительной переменной. Т.е. если дана функция f(х), то f '(х) есть производная данной функции.

Учитывая (2), производную можно представлять отношением дифференциалов:

у' ≡ dу ≡ d f(x)

dx dx (7)

Это отношение удобно для вычисления производных сложных функций и функций, заданных либо неявно, либо параметрически.

Производная и дифференциал имеют следующие пять основных свойств.

1. Дифференцирование константы, С = const:

[ C] ' = C' = 0, dC = 0.

2. Вынос постоянного множителя за скобки:

(Сu)'=C • u'; d(Сu) = Cdx.

3. Дифференцирование алгебраической суммы u = u(x) и v = v(x):

(u ± v)'=u' ± v'.

4. Дифференцирование произведения функций:

(u • v)'= u ' • v + u • v'.

5. Дифференцирование отношения функций:

u ' = u ' • v - u • v'

v v^{2 .}

Рассмотрим правила дифференцирования функций, заданных разными способами.