Производная обратной функции

Допустим, что функция х = х(у) является обратной функцией к функции у = у(х). Найдем связь между производными у'_x и x'_у этих функций.

ПРИМЕЧАНИЕ. Здесь идет речь о дифференцировании различных функций по РАЗНЫМ переменным. Поэтому, во избежание недоразумений, аргумент, по которому осуществляется дифференцирование, указывается в качестве индекса. Т.е.

у'_x = d у(x) x'_у = d х(у)

dx dу.

Т.о., эти определяются отношениями одних и тех же дифференциалов:

у'_x = d у x'_у = d х

dx dу.

Отсюда находим:

x'_у = d х = dy ^-1 = 1

dу dx у'_x. Следовательно, связь между производными обратной и прямой функций имеет вид:

x'_у = 1

у'_x. (8)