Производная сложной функции

Дана функция у = у(х). Допустим, что х, в свою очередь, является функцией другой переменной х = х(t). В этом случае говорят, что у есть СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ переменной t.

Такая связь записывается следующим образом:

у = у(х),

х = х(у).

Может также использоваться более компактная форма записи:

у = у(х(t)).

Для вычисления производной сложной функции опять воспользуемся связью (2) между производной и дифференциалом, одновременно домножив и разделив правую часть на dx:

у'_t = dy = dy · dx

dt dt dx.

Перегруппировав члены, окончательно получаем:

у'_t = dy · dx ≡ у'_x · x'_t. (9)

dх dt

- правило дифференцирования сложной функции. Это правило удобно представить в более подробном виде:

(у(х(t))) = у'_x · x'_t. (10)

Такая форма записи означает следующее.

При дифференцировании сложной функции надо «внешнюю» функцию продифференцировать по ее аргументу (который записывается в виде индекса). Полученный результат умножается на производную от этого аргумента, являющегося функцией своей переменной. Т.е. указанный аргумент, который только что был использован в качестве индекса, «поднимается вверх». Процедура перемножения производных повторяется до тех пор, пока не дойдем до окончательной независимой переменной. В частности, производная «трехэтажной» сложной функции есть:

d (z(y(x(t)))) = z'_y ·y'_x·x'_t. (11)