Тема 1.1 Дифференциальное исчисление

Лекция №1.

План:

1. Производная функции, её геометрический и механический смысл. Формулы производных.

2. Изучение производных суммы, произведения, частного функций. Обоснование производных элементарных и сложных функций, обратных функций.

Определение 1: Производная есть скорость изменения функции в окрестности данной точки.

Пусть дана некоторая функция у = у(х). Ее производная определяется следующим образом:

у(х + ∆х) – у(х)

		(2)

- производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Определим ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ производной и дифференциала. Для этого изобразим фрагмент графика некоторой довольно гладкой функции у = у(х) (рисунок 1).

dy

dx

α

Рисунок1.

Выделим произвольную точку (х;у) на графике и построим касательную L в этой точке.

Зададимся малым приращением аргумента dx, которое, для наглядности. Изобразим покрупнее.

Определим соответствующее приращение функции ∆у и построим хорду L₁.

Видим, что при dx → 0 эта хорда, вращаясь вокруг точки (х;у), переходит в касательную L.

Таким образом, при бесконечно малом приращении dx хорда L₁ и касательная L НЕРАЗЛИЧИМЫ.

Отметим, что касательная L, совместно с координатными линиями, изображенными на рисунке, образует прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет равен dx, вертикальный катет обозначим через dy.

dy

Видим, что при dx → 0 величина dy практически совпадает с приращением функции, ∆у → dy. То есть dy – это ДИФФЕРЕНЦИАЛ функции. Следовательно, учитывая (2), получаем

Рисунок 2.

Видим, что при х = х1 и при х = х2 производная равна нулю, у' = 0.

Такие точки называются ЭКСТРЕМУМАМИ.

В промежутке х1< х < х2 функция МОНОТОННО УБЫВАЕТ, здесь у' < 0 – производная отрицательна.

При х > х2 функция МОНОТОННО ВОЗРАСТАЕТ, здесь у '> 0 – производная положительна.

Таким образом, по величине и знаку производной можно судить о характере изменения функции:

у' = 0 – возможен экстремум,

у '> 0 – функция возрастает,

у' < 0 – функция убывает.