Операторы переходов и выходов агрегата

Операторы переходов. Наряду с состоянием z(t) будем рассматривать также точки z(t+0). Договоримся считать, что для любого t₁>t момент (t+0)Î(t,t₁]. Вид оператора H зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты т.н. особых состояний агрегата или не содержит. Под особыми состояниями будем понимать его состояния в момент получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния агрегата будем называть неособыми.

Предположение 2. Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Пусть z(t*) – некоторое особое состояние агрегата, а u_s – последний управляющий сигнал u_sÎU. Примем следующие обозначения для операторов, являющихся частными видами оператора H и определяющих состояние агрегата в момент t*+0. Если t* - момент поступления входного сигнала x _, то

z(t*+0)=V¢[z(t*), x,u_s] (11.2)

Аналогично, если t* - момент поступления управляющего сигнала u, то

z(t*+0)=V¢¢[z(t*),u] (11.3)

При одновременном поступлении x и u

z(t*+0)=V [z(t*), x,u] (11.4)

Наконец, если t* - момент выдачи выходного сигнала y, то

z(t*+0)=W[z(t*),u_s] (11.5)

В интервале между особыми состояниями, значение z(t) определяется при помощи операторов U, вид которых в общем случае зависит от особого состояния, являющегося для данного интервала времени начальным состоянием:

z(t*+0)=[t,z(t*+0),u_s] (11.6)

Здесь t* - момент особого состояния, являющегося исходным для данного интервала времени. Естественно, замечания о том, что H является случайным оператором, без изменений переносится на его частные виды U,V¢,V¢¢,V и W.

Оператор выходов. Во множестве Z состояний z(t) агрегата выделим класс подмножеств {Z_y}, обладающих следующими свойствами. Выходной сигнал y выдается в момент t¢ в тех случаях, когда: 1) z(t¢)ÎZ_y; z(t¢-0)ÏZ_y и 2) z(t¢+0)ÎZ_y, но z(t’)ÏZ_y. Тогда, оператор G можно представить в виде совокупности 2 операторов: G¢, вырабатывающего выходной сигнал

y=G¢[z(t¢),u_s] (11.7)

и G¢¢, проверяющего для каждого t принадлежность z(t) к одному из подмножеств Z_y. Заметим, что в общем случае, оператор G¢ является случайным оператором. Это значит, что данным t,z(t),u ставится в соответствие не одно определенное значение выходного сигнала, а некоторое множество значений y с соответствующим распределением вероятностей, задаваемых оператором G¢.

В некоторых случаях в качестве одной составляющих z(t), например z₁(t), можно рассматривать время, оставшееся до выдачи выходного сигнала. Тогда оператор G¢¢ проверяет неравенство z₁(t)>0.

Процесс функционирования агрегата. Агрегат функционирует следующим образом. В начальный момент времени t₀ заданы начальное состояние агрегата z₀ и начальное значение управляющего сигнала u₀.

Пусть t₁ и t₂ – моменты поступления первого x ₁ и второго x ₂ входных сигналов, t₁ – момент поступления первого управляющего сигнала u₁ и, для определенности t₁<t₁<t₂. Рассмотрим полуинтервал (t₀,t₁]. Состояния агрегата изменяются с течением времени по закону

z(t)=[t,z₀,u₀] (t₀<t£t₁)

до тех пор (оператор G¢¢), пока в момент t¢ (пусть t¢<t₁) состояние z(t¢) не окажется принадлежащим подмножеству Z¢_y, хотя состояние z(t¢-0) не принадлежало подмножеству Z¢_y. В этом случае в момент t¢ выдается выходной сигнал y⁽¹⁾, вырабатываемый оператором G¢. Вместе с тем закон изменения состояний (11.6) нарушается и

z(t¢+0)=W[z(t¢),u₀].

Прежде чем рассматривать дальнейшие изменения состояний агрегата во времени, необходимо проверить (оператор G¢¢), не удовлетворяет ли состояние z(t¢+0) условиям выдачи выходного сигнала, или, другими словами, не принадлежит ли (в смысле условий 1) и 2), упомянутых выше) состояние z(t¢+0) некоторому новому подмножеству Z¢¢_y). Если состояние z(t¢+0) удовлетворяет условиям выдачи выходного сигнала (принадлежит подмножеству Z¢¢_y), то в момент t¢¢ выдается второй выходной сигнал y⁽²⁾ (оператор G¢), а состояние агрегата описывается соотношением

z(t¢+0+0)=W[z(t¢+0),u₀]=W{W[z(t¢),u₀],u₀} (11.8)

и т.д. В силу принятого соглашения в любой интервал времени может быть выдано лишь конечное множество выходных сигналов. Это свойство агрегата является ограничением, накладываемым на структуру подмножеств Z_y и оператор W. Предположим теперь, что z(t¢+0) не принадлежит никакому из подмножеств Z_y. Поэтому далее состояние агрегата изменяется в соответствии с законом

z(t)=u_t¢[t,z(t¢+0),u₀]=u_t¢{t,W[z(t¢),u₀],u₀} (11.9)

Пусть теперь в момент t₁ поступает входной сигнал x_1. Проследим поведение агрегата в момент t₁ при различных вариантах возможных событий.

Если при достаточно малых e>0 в момент t₁-e состояние агрегата не принадлежало подмножеству Z^*_y, а в момент t₁ z(t₁) принадлежит Z^*_y, то условимся, что в момент t₁ выдается выходной сигнал y^*_, а состояние агрегата есть

z(t₁+0)=W[z(t₁),u₀] (11.10)

Вместе с тем действие входного сигнала x ₁ приводит к тому, что

z(t₁+0+0)=V¢[z(t₁+0), x ₁,u₀]=V’{W[z(t₁),u₀], x₁,u₁} (11.11)

Очевидно, что состояние z(t₁+0+0) должно быть проверено (оператором G¢¢) по отношению к условиям выдачи выходного сигнала. Предположим теперь, что в момент t₁ не было оснований для выдачи выходного сигнала y*. Тогда вместо (11.10 и11.11) в силу действия входного сигнала x ₁ состояние агрегата имеет вид

z(t₁+0)=V¢[z(t₁), x ₁,u₀], (11.12)

а в дальнейшем, если состояние (11.12) не соответствует выдаче выходного сигнала:

z(t)={t,V¢[z(t₁), x ₁,u₀],u₀} (11.13) t₁<t£t (t₁,t]

Пусть в момент t₁ в агрегат поступает управляющий сигнал u₁. Тогда состояние агрегата имеет вид

z(t₁+0)=V¢¢[z(t₁),u₁], (11.14)

если в момент t₁ не происходит выдача выходного сигнала, или

z(t₁+0+0)=V¢¢{[W[z(t₁),u₀]]u_1,b}, (11.15)

если в момент t₁ выдается выходной сигнал.

Необходимо отметить, что управляющий сигнал u в общем случае является параметром, определяющим операторы V¢,V¢¢,W,U,G¢,G¢¢. Поэтому в дальнейшем вместо начального значения управляющего сигнала u₀ в этих операторах должно использоваться значение u₁ до тех пор, пока не поступит следующий управляющий сигнал u_2. Например, в полуинтервале (t₁, t₂], если нет оснований для выдачи выходного сигнала

z(t)=z(t₁+0),u₁] t₁<t£t₂ (11.16)

В частном случае, операторы H и G могут оставаться неизменными при поступлении очередного управляющего сигнала. Аналогично, оператор U может быть одним и тем же при любых выходных сигналах (при попадании z(t) в любые подмножества Z_y).

Агрегат представляет собой математическую схему весьма общего вида, частными случаями которой являются функции алгебры логики, релейно-контактные схемы, конечные автоматы, всевозможные классы систем массового обслуживания, динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и некоторые другие объекты. С точки зрения моделирования агрегат выступает как достаточно универсальный переработчик информации – он воспринимает входные и управляющие сигналы и выдает выходные сигналы.