Приложения интеграла Римана
Интеграл Римана по отрезку был нами введен как площадь криволинейной трапеции. Понятие площади неотделимо от понятия интеграла. С его помощью можно вычислять площади любых плоских областей, а также длины дуг, площади поверхностей и объемы тел.
1.Вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми и и над отрезком , причем .
Очевидно, что площадь области между кривыми равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций, поэтому
.
2. Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами (в полярных координатах) и , а также заданной в полярных координатах кривой .
Проведем внутри криволинейного сектора лучи , разбивающие исходный сектор на мелкие криволинейные секторы , причем .
Заменим каждый мелкий криволинейный сектор круговым сектором с тем же углом при вершине и радиусом, равным значению , где . Тогда площадь кругового мелкого сектора равна . При этом чем меньше разность , тем меньше площадь кругового мелкого сектора отличается от площади соответствующего криволинейного мелкого сектора.
|
|
При достаточно частом разбиении исходного криволинейного сектора площадь его достаточно близка к величине
.
Если теперь устремить к нулю наименьший из растворов малых криволинейных секторов, мы получим предел интегральных сумм – интеграл , который совпадает с площадью исходного криволинейного сектора.
3.Вычислить длину дуги кривой . Длиной дуги кривой мы будем называть предельную сумму длин вписанных в дугу хорд при стремлении этих хорд к точкам.
Разобъем отрезок на отрезков , где . Длина хорды, расположенной над отрезком , равна . Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа и получим длину этой же хорды в виде
, где ,
. Таким образом, длина дуги всей кривой может быть приближена суммой , причем чем мельче разбиение отрезка тем точнее результат. При стремлении длины наименьшего из отрезков разбиения к нулю мы получим из суммы интеграл: , который и дает выражение длины дуги данной кривой.
4. Вычислить длину дуги пространственной кривой, заданной параметрически в виде
для вычисления ее длины применяют формулу
.
Пусть – последовательность функций, заданных на одном и том же множестве, причем при каждом значении числовой ряд сходится. Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд на множестве и исследовать свойства функции – суммы ряда – на том же множестве .
В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим
следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости
функционального ряда: если тчо и ряд с положительными членами сходится, то функциональный ряд абсолютно сходится на множестве .
|
|
П р и м е р. Функциональный ряд сходится при любом значении переменной , так как мажорирующим рядом для него является сходящийся ряд .