2014-02-02
429
Приложения интеграла Римана
Интеграл Римана по отрезку был нами введен как площадь криволинейной трапеции. Понятие площади неотделимо от понятия интеграла. С его помощью можно вычислять площади любых плоских областей, а также длины дуг, площади поверхностей и объемы тел.
1.Вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми 
и 
и над отрезком 
, причем 
.
Очевидно, что площадь области между кривыми равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций, поэтому
.
2. Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами (в полярных координатах) 
и 
, а также заданной в полярных координатах кривой 
.
Проведем внутри криволинейного сектора лучи 
, разбивающие исходный сектор на мелкие криволинейные секторы 
, причем 
.
Заменим каждый мелкий криволинейный сектор круговым сектором с тем же углом при вершине и радиусом, равным значению 
, где 
. Тогда площадь кругового мелкого сектора равна 
. При этом чем меньше разность 
, тем меньше площадь кругового мелкого сектора отличается от площади соответствующего криволинейного мелкого сектора.
При достаточно частом разбиении исходного криволинейного сектора площадь его достаточно близка к величине
.
Если теперь устремить к нулю наименьший из растворов малых криволинейных секторов, мы получим предел интегральных сумм – интеграл 
, который совпадает с площадью исходного криволинейного сектора.
3.Вычислить длину дуги кривой 
. Длиной дуги кривой мы будем называть предельную сумму длин вписанных в дугу хорд при стремлении этих хорд к точкам.
Разобъем отрезок 
на 
отрезков 
, где 
. Длина хорды, расположенной над отрезком 
, равна 
. Воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа и получим длину этой же хорды в виде
, где 
,
. Таким образом, длина дуги всей кривой может быть приближена суммой 
, причем чем мельче разбиение отрезка 
тем точнее результат. При стремлении длины наименьшего из отрезков разбиения к нулю мы получим из суммы интеграл: 
, который и дает выражение длины дуги данной кривой.
4. Вычислить длину дуги пространственной кривой, заданной параметрически в виде
для вычисления ее длины применяют формулу
.
Пусть 
– последовательность функций, заданных на одном и том же множестве, причем при каждом значении 
числовой ряд 
сходится. Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд 
на множестве 
и исследовать свойства функции 
– суммы ряда – на том же множестве .
В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим
следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости
функционального ряда: если 
тчо 
и ряд с положительными членами 
сходится, то функциональный ряд абсолютно сходится на множестве .
П р и м е р. Функциональный ряд 
сходится при любом значении переменной 
, так как мажорирующим рядом для него является сходящийся ряд 
.
