Вектор плотности тока. Закон Ома в дифференциальной форме

Силу тока можно определить не только для всего поперечного сечения проводника, но и для любой, в том числе элементарной (бесконечно малой) площадки , перпендикулярной направлению движения зарядов в точке ее нахождения. Эта сила тока

, (2.15)

где dq – заряд, проходящий через элементарную площадку за время dt. Это позволяет ввести заданный в каждой точке проводника вектор плотности тока. Он характеризует распределение тока по поверхности, через которую он протекает. Величина плотности тока определяется формулой

, (2.16)

где ds _^ – площадь элементарной площадки, перпендикулярной к направлению движения зарядов. Таким образом, вектор плотности тока численно равен заряду, переносимому в единицу времени через единичную (с площадью 1 м²) площадку, расположенную перпендикулярно к направлению движения зарядов. Направлен вектор плотности тока в сторону движения положительных зарядов.

Рассмотрим участок цилиндрического проводника, по которому течет ток (рис. 2.3). Выделим два сечения этого проводника, отстоящих друг от друга на расстоянии dl. Разность потенциалов между этими сечениями dj. Сопротивление выделенного элемента проводника dR=r dl /S.

Применяя к рассматриваемому участку проводника закон Ома, получим:

. (2.17)

Из формулы (2.17) следует выражение для величины плотности тока в проводнике:

. (2.18)

Производная dj /dl равна напряженности поля E внутри проводника. Таким образом,

. (2.19)

Вектор напряженности электрического поля задает направление движения положительных зарядов и направлен так же, как и вектор плотности тока , поэтому

, (2.20)

где s = 1/r – удельная проводимость проводника. Полученное соотношение называется законом Ома в дифференциальной форме.